Артур Бенджамин - Магия математики - Как найти x и зачем это нужно

Или же, для всех действительных значений x ,

Ваш калькулятор, например, может за долю секунды подсчитать, что ln 5 = 1,609…, однако это нам уже хорошо известно по тому, что e 1,609≈ 5. Подробнее же о функциях натурального логарифма мы поговорим в главе 11.

Большинство профессиональных калькуляторов способно считать как натуральные, так и десятичные логарифмы. И лишь очень немногие ориентированы на другие значения b . Впрочем, проблемы тут никакой нет: одно основание довольно легко преобразовать в другое. Да-да, один логарифм является ключом ко всем остальным! На этот счет даже есть своя теорема, благодаря которой мы можем, например, взять логарифм по основанию 10 и найти его аналог по основанию b .

Теорема:Для любых положительных значений b и x

Доказательство:Предположим, что y = log b x . Тогда b y= x . Прологарифмируем обе части: log b y= log x . Согласно второму замечательному пределу, y log b = log x . Следовательно, y = (log x )/(log b ), что и требовалось доказать.◻

log b x = (log x ) / (log 2) = (log x ) / (0,301…) ≈ 3,32 log x

Как и число π, число e широко используется в математике. И, как и π, оно встречается подчас там, где вы совершенно не ожидаете его увидеть. Например, колоколообразная кривая, которую мы уже упоминали в главе 8, имеет формулу

а ее график, изображенный чуть ниже, – наверное, самый важный график в любом статистическом исследовании.

В той же главе 8 мы встречали e в формуле Стирлинга для множества n !:

Позже, в главе 11, на примере e x и бесконечной последовательности

мы увидим важную связь между числом e и факториальным многочленом.

В частности, при x = 1,

Не правда ли, очень легкий и быстрый способ определить цифры, составляющие число e ?

Кстати, о цифрах… Вы наверняка уже заметили, что число e начинается с повторяющейся последовательности цифр

или, как любил повторять один мой преподаватель, «2,7 Эндрю Джексон, Эндрю Джексон», потому что седьмой президент США был избран именно в 1828 году. («Запоминалка» эта, кстати, отлично подходит и студентам-историкам: с помощью первых цифр числа e можно запомнить год избрания Джексона.) [33]Как тут не усомниться в иррациональной природе e ? Ведь если бы последовательность 1828 повторялась бесконечно, e было бы обычным рациональным числом. Но нет, дальше идут 6 цифр… 459045… (лично я запомнил их как значения углов равнобедренного прямоугольного треугольника).

Вмешивается e и в вопросы вероятности. Предположим, что раз в неделю вы покупаете лотерейный билет с шансом выиграть приз 1 к 100. Какова вероятность того, что за 100 недель вы что-нибудь да выиграете? Каждую неделю ваш «коэффициент удачи» равен 1/100 = 0,01, а «коэффициент невезения» – 99/100 = 0,99. Так как количество билетов неограниченно (то есть удача на этой неделе никак не зависит от невезения на прошлой), за весь срок получаем

что очень близко

Нет, это не совпадение. Вспомните формулу, в которой мы впервые увидели e x :

Если мы положим x = –1, то при любом большом значении n получим

Когда n = 100, (0,99) 100будет примерно равно 1/ e . То есть ваши шансы выиграть приз за 100 недель составляют 1 – (1/ e ) ≈ 64 %.