Артур Бенджамин - Магия математики - Как найти x и зачем это нужно

То же происходит и с многочленами второй степени: разложив ax ² + bx + c до a ( x – z 1)( x – z 2), мы получаем его корни – z 1и z 2(они вполне могут оказаться комплексными величинами, равно как и одной и той же величиной). И так можно продолжать до бесконечности – с любым многочленом любой степени.

Сопутствующая теорема:Любой многочлен степени n ≥ 1 может быть разложен на n составляющих. А именно: если p ( x ) есть многочлен n -ной степени, в котором главный член a ≠ 0, должно существовать n чисел z 1, z 2…., zn (которые вполне могут оказаться комплексными величинами, равно как и одной и той же величиной), соответствующих p ( x ) = a ( x – z 1)( x – z 2)… ( x – z n). Величины z i являются корнями многочлена при p ( z i) = 0.

Теорема эта означает, что любой многочлен степени n ≥ 1 будет иметь как минимум один и как максимум n различных корней.

Например, x 4 – 16 есть многочлен четвертой степени. Следовательно, его можно разложить как

из чего очень хорошо видно, что у него будет четыре различных корня: 2, –2, 2 i , – 2 i .

А вот многочлен третьей степени 3 x ³ +9 x ² –12 раскладывается так:

то есть имеет только два различных корня: –2 и 1.

Комплексные числа можно представить в виде комплексной же плоскости . Выглядит она так же, как и алгебраическая система координат ( x, y ), только вместо оси y мы чертим некую мнимую ось , на которой расположены числа 0, ± i , ±2 i и так далее. Вот как будут выглядеть на этой плоскости некоторые комплексные величины:

Только что мы выяснили, насколько легко складывать, вычитать и умножать числовые выражения комплексных величин. С их геометрическими представлениями работать ничуть не сложнее: достаточно просто взглянуть на соответствующие точки.

Возьмем, к примеру, сложение:

Посмотрите на график ниже: точки 0, 3 + 2 i , 2 + 3 i и –1 + i образуют параллелограмм.

Вы удивитесь, но его вполне достаточно, чтобы сложить комплексные числа z и w.

Для вычитания z – w возьмем третью точку – w , расположенную симметрично напротив w . А теперь просто сложим z и – w , как показано на графике:

Для умножения и деления нам понадобится измерить комплексные величины. Модулем (или длиной ) любого комплексного числа считается длина отрезка от начала координат 0 до точки, соответствующей искомому числу. То есть модуль числа z (обозначается как | z |) есть расстояние от 0 до точки z . Если z = a + bi , тогда, согласно теореме Пифагора, модуль z будет равен

На графике ниже хорошо видно, что точка 3 + 2 i имеет модуль √( 3 ² + 2 ² ) = √ 13 . Обратите внимание, что для соответствующего этой точке угла θ tan θ = 2/3. Следовательно, θ = tan –12/3 ≈ 33,7° или примерно 0,588 рад.

Точки с модулем, равным 1, складываются в единичную окружность (см. график ниже). Чему будет равно комплексное число, образующее угол θ? Если бы мы находились в более привычной системе координат, нужная нам точка имела бы координаты (cos θ, sin θ) – это нам хорошо известно по предыдущей главе. Значит, здесь получаем cos θ + i sin θ. То есть любая комплексная величина с модулем R соответствует формуле