Артур Бенджамин - Магия математики - Как найти x и зачем это нужно

А так как cos² A = 1 – sin² A и sin² A = 1 – cos² A , мы также можем утверждать, что

Из этого тождества косинусов проистекает аналогичное тождество синусов, например,

B = A приводит нас к формуле функций двойного угла для синусов –

а замена B на – B – к

Давайте соберем в одну таблицу все тождества, которые мы успели вывести в этой главе:

Повторюсь: использовать буквы A и B вы не обязаны, сгодятся и любые другие (скажем, cos (2 u ) = cos² u – sin² u или sin (2θ) = 2 sin θ cos θ).

До сих пор нам встречались углы, значения которых находились исключительно в диапазоне от 0 до 360 градусов . Но пристальный взгляд на единичную окружность невольно заставляет усомниться в обоснованности выбора числа 360. Сделан он был давным-давно, еще в древнем Вавилоне, где в обиходе была шестидесятеричная система счисления, использовавшаяся в том числе и в календаре (да-да, число 360 подозрительно напоминает количество дней в году). Альтернатива была предложена много позже, в XIX веке, когда в математике – а затем и в других науках – появилось понятие радиана , представляющего собой

или, другими словами,

Для тауистов, почитающих число t как 2π,

В числовом же выражении 1 радиан примерно равен 57°.

Но зачем они нужны, спросите вы. И чем вдруг научному сообществу так не угодили привычные всем градусы?

В круге с радиусом r угол в 2π радианов охватывает длину окружности 2π r . Если взять часть этого большого угла, величина дуги, отделяемой этой частью, будет в 2π r раз больше получившейся дроби. Если говорить конкретнее, то 1 радиан «захватывает» дугу длиной 2π r (1/2π) = r , а m радианов – дугу длиной mr . В единичной окружности значение угла в радианах равно длине соответствующей ему дуги. Разве не удобно?

А вот единичный круг, поделенный на самые «популярные» углы – значения выражены как в градусах, так и в радианах.

Для сравнения – версия с t вместо π.

На рисунках, кстати, очень хорошо заметно, насколько t удобнее π. Для угла 90° (занимающего четверть окружности) представление в радианах выглядит как t/4; для угла 120° (треть окружности) – как t/3; для угла 60° (одна шестая окружности) – как t/6; t же есть, по сути, один полный оборот , то есть угол 360°.

Как нам еще предстоит убедиться, радианы позволяют значительно упростить формулы и уравнения подсчета тригонометрических функций. Формулы синуса и косинуса, например, можно превратить в «бесконечные ряды многочленов»:

но только если x измеряется в радианах. Или при исчислении, например, мы увидим, что cos x есть производная функция sin x при том же условии. Так же и графики тригонометрических функций y = sin x и y = cos x строятся обычно на основании радианного представления x .