Артур Бенджамин - Магия математики - Как найти x и зачем это нужно

Например, если взять треугольник со сторонами 3, 14 и 15 (узнаете первые пять цифр числа π?), полупериметр будет равен (3 + 14 + 15)/2 = 16, а площадь, таким образом, – √( 16(16 – 3)(16 – 14)(16 – 15) ) = √ 416 ≈ 20,4 .

Несложно, правда? Уверен, внимательный читатель не сможет не заметить здесь закон косинусов, слегка приправленный алгеброй.

Но этим возможности тригонометрических функций не ограничиваются. Они способны и на куда более интересные и запутанные взаимоотношения – так называемые тождества . Некоторые из таких тождеств мы уже наблюдали, например,

Но их, конечно же, куда больше.

Из тождеств рождаются формулы, притом весьма полезные. Ими-то мы и займемся в этом разделе.

Первое тождество основывается на формуле единичной окружности:

Под эту формулу должна подходить точка (cos A , sin A ), принадлежащая единичной окружности. Следовательно, (cos A )² + (sin A )² = 1, из чего проистекает, пожалуй, наиболее важное тригонометрическое тождество.

Теорема:Для любого ∠ A

До сих пор все произвольные углы мы обозначали буквой A . Но это не значит, что вы обязаны всегда так делать, можно брать и другие буквы, например, x :

В тригонометрии для этой цели часто используется греческая буква θ (тета) –

А бывает и так, что вообще ничего не используется:

Но перед тем как доказывать какое бы то ни было тождество, нужно найти длину отрезка прямой. В этом нам поможет теорема Пифагора.

Теорема (формула расстояния между двумя точками):Обозначим длину отрезка прямой от точки ( x 1, y 1) до точки ( x 2, y 2) буквой L . Тогда

Например, длина отрезка от точки (–2, 3) до точки (5, 8) равна

Доказательство:Возьмем две точки ( x 1, y 1) и ( x 2, y 2). Начертим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого будет отрезок, соединяющий эти точки. На рисунке выше длина основания равна x 2 – x 1, а высота – y 2 – y 1. Следовательно, согласно теореме Пифагора, гипотенуза L равна

то есть что и требовалось доказать.

Чему будет равна диагональ в коробке размером a × b × c ? Возьмем прямоугольник, образующий дно этой коробки, и обозначим пару противоположных его углов буквами O и P . Длина и ширина при этом будут равны соответственно a и b , а диагональ OP – √( a ² + b ²).

Теперь проложим линию c от точки P к точке Q , образующей угол, противолежащий O . Чтобы найти расстояние от O до Q , нам понадобятся длины катетов прямоугольного треугольника и c . Применим к ним теорему Пифагора и получим, что длина диагонали OQ равна

Ну а теперь собственно тождество – столь же полезное, сколь и красивое. Доказательство может показаться несколько запутанным, поэтому можете смело его пропускать (хотя я все же советую вам в нем разобраться – оно ляжет в основу доказательства других тождеств).