Артур Бенджамин - Магия математики - Как найти x и зачем это нужно

что можно представить как h = 0,839 x . В треугольнике ABC имеем

что дает нам h = 0,625( x + 300) = 0,625 x + 187,5.

Так как h в обоих случаях есть величина одинаковая, мы имеем полное право эти два уравнения соединить:

Решается это как x = 187,5/(0,214) ≈ 876. Значит, h приблизительно соответствует 0,839(876) ≈ 735, что и будет высотой горы.

Пока что наши знания о тригонометрических функциях ограничиваются прямоугольными треугольниками. Для решения повседневных задач этого, в принципе, более чем достаточно. Но разве вам не интересно узнать, как они ведут себя в других углах, а не только в тех, значения которых колеблются исключительно в диапазоне от 0° до 90° (ведь в прямоугольном треугольнике один из углов всегда прямой, а два оставшихся – острые)? Конечно, интересно, и именно этим мы и займемся в этом разделе – посмотрим на тригонометрические функции через призму единичного круга и разберемся в особенностях поведения синусов, косинусов и тангенсов углов других типов.

Надеюсь, вы не забыли, что единичным называется такой круг, радиус которого равен 1, а центр расположен в точке начала координат (0, 0). Для него отлично работает уравнение x ² + y ² = 1, которое получилось у нас в прошлой главе из теоремы Пифагора.

Давайте попробуем найти некую точку ( x, y ), расположенную на окружности выше и левее точки (1, 0) и образующую с центром круга и осью x острый угол A :

Для того чтобы найти x и y , нам нужно начертить прямоугольный треугольник и применить к нему наши формулы косинусов и синусов:

Другими словами, значения координат ( x, y ) составят (cos A , sin A ). Если обобщать, то при радиусе, равном r , ( x, y ) = ( r cos A, r sin A ).

Для любого угла A нам нужно определить (cos A , sin A ), то есть место расположения на окружности его вершины. При этом cos A будет соответствовать значению координаты по оси x , а sin A – по оси у , вот так:

А вот еще одно общее представление. Только теперь мы разделим единичный круг на много углов с шагом 30° (и сделаем один шаг в 45° для большей наглядности) – так мы получим углы из уже очень хорошо знакомых нам треугольников. Помните, я советовал вам выучить значения косинусов и синусов для углов 0°, 30°, 45°, 60° и 90°?

К углам этим можно прийти с помощью простого отражения значений, содержащихся в первой четверти окружности.

Прибавление или вычитание 360° на величину угла никак не повлияет (мы просто обойдем вокруг него с одной или другой стороны), а значит, для любого ∠ A

Имея дело с отрицательными значениями углов, мы двигаемся по окружности слева направо: так, угол, равный –30°, ничем, по сути, не отличается от угла, равного 330°. Обратите внимание, что сдвиг на A градусов по часовой стрелке приводит нас к той же x -координате, что и сдвиг на те же A градусов против часовой стрелки. Y -координата же при этом сменит знак на противоположный. Другими словами, для любого значения угла A

Например,

Обратное происходит, когда мы «отзеркаливаем» ∠ A через ось y . Значение y -координаты получившегося таким образом дополнительного угла 180 – A остается неизменным, а значение x -координаты меняет знак на противоположный. То есть