Артур Бенджамин - Магия математики - Как найти x и зачем это нужно

Слово «тригонометрия» состоит из двух греческих корней: trigon и metria , сочетание которых буквально означает «измерение треугольника».

Равнобедренный прямоугольный треугольник. Как следует из названия, один из его углов равен 90°, а два других равны между собой, то есть по 45° (не забыли, что сумма углов треугольника равна 180°?). Если предположить, что длина каждого катета составляет 1, то, согласно теореме Пифагора, длина гипотенузы будет равна √( 1 ² + 1 ²) = √ 2 . И, кстати, такое же соотношение сторон – 1: 1: √ 2 , – будет у каждого равнобедренного прямоугольного треугольника (посмотрите на рисунок).

Треугольник с углами 30°, 60° и 90°. В равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую длину, а все углы – по 60°. Если мы разделим такой треугольник на две конгруэнтные части (как показано ниже), у нас получатся два прямоугольных треугольника с углами 30°, 60° и 90°. Если длины всех сторон изначального треугольника равны 2, будут равны и 2 гипотенузы каждой из его прямоугольных половинок. Длины меньших катетов при этом составят 1, а бо́льших, как следует из теоремы Пифагора, – √( 2 ² + 1 ²) = √ 3 . Эта пропорция – 1: √ 3 : 2 – также будет справедлива и в отношении любого треугольника с углами в 30°, 60° и 90° (это просто, как 1, 2, √ 3 ). В частности, при гипотенузе длиной 1 длины катетов составят 1/2 и √ 3 /2.

Единство ( a, b, c ), в котором a, b и c суть положительные целые величины, а a ² + b ² = c ², называют Пифагоровой тройкой . Самая простая из таких троек (и наименьшая по значению величин) – (3, 4, 5). Общее же их количество неограниченно: просто увеличиваем треугольник сначала до (6, 8, 10), затем до (9, 12, 15) и т. д., до скольки угодно, хоть до (300, 400, 500). Но есть куда более интересный и остроумный способ создания таких троек. Возьмите два любых положительных числа m и n , где m > n . Допустим, что

Обратите внимание: a ² + b ² = ( m ² – n ²)² + (2 mn )² = m 4+ 2 m ² n ² + n 4, что равно ( m ² + n ²)² = c ², поэтому тройка ( a, b, c ) является пифагоровой. Например, если m = 2, а n = 1, получим (3, 4, 5); ( m, n ) = (3, 2) даст (5, 12, 13); ( m, n ) = (4, 1) – (15, 8, 17); ( m, n ) = (10, 7) – (51, 140, 149) и т. д. Самое интересное, что с помощью этого метода можно создать абсолютно любую пифагорову тройку (доказательство можно найти в любой книге по теории чисел).

Вся тригонометрия основана на двух очень важных функциях – синусеи косинусе. Возьмем треугольник ABC (вроде того, что изображен чуть ниже) и обозначим длину гипотенузы буквой c , а длины катетов, лежащих напротив ∠ A и ∠ B , – буквами a и b соответственно.

Синус угла ∠ A (который в прямоугольном треугольнике должен быть острым) будем искать по формуле

Косинус этого угла – по формуле

Имейте в виду, что любой прямоугольный треугольник с углом A будет пропорционален нашему изначальному треугольнику, поэтому значения синуса и косинуса A от размеров треугольника не зависят.

Еще одна не менее популярная в тригонометрии функция – тангенс. Для угла A он представляет собой

в прямоугольном треугольнике –

Для всех этих формул есть свои специальные «запоминалки». Один мой знакомый, например, любил повторять: «Сильно противный Глеб, который прилег на гриб, так противно прилег». Здесь «СИльно» означает синус, все «ПРОТИВное» – противолежащий катет, «КОторый» – косинус, «ПРИЛег» – прилежащий катет, «ТАк» – тангенс, а слова, начинающиеся с буквы «г» – гипотенузу (то есть получаем подсказку насчет синуса, потом косинуса, а потом и тангенса).