Артур Бенджамин - Магия математики - Как найти x и зачем это нужно

Составим из двух равных h ² частей уравнение:

Следовательно,

В треугольнике CBD cos C = x / a , поэтому x = a cos C . Следовательно, если ∠ C является острым, то

Если же ∠ C – тупой, дополним треугольник ABC прямоугольным треугольником CBD , как на рисунке:

Для него, как и для получившегося большого, верна теорема Пифагора: a ² = h ² + x ² и c ² = h ² + ( b + x )². Как и в случае с острым ∠ C , соединим уравнения:

В треугольнике CBD cos (180° – C ) = x / a , то есть x = a cos (180° – C ) = – a cos C . И мы вновь приходим к искомому:

Кроме того с помощью функций можно рассчитать площадь треугольника.

Сопутствующая теорема:В любом треугольнике ABC со сторонами a и b и лежащим между ними ∠ C

Доказательство:Площадь треугольника с длиной основания b и высотой h равна Все три треугольника, рассмотренные при доказательстве закона косинусов, имеют основание b . Определим высоту h . В остроугольном треугольнике обратим внимание на то, что sin C = h / a , то есть h = a sin C . В тупоугольном треугольнике sin (180° – C ) = h / a , поэтому опять имеем h = a sin (180° – C ) = a sin C . В прямоугольном же треугольнике h = a , что равно a sin C , потому что C = 90°, а sin 90° = 1. Следовательно, так как во всех трех случаях h = a sin C , площадь треугольников составит что и требовалось доказать.

Следствия этой теоремы очевидны:

Другими словами, в треугольнике ABC (sin C )/ c равен его удвоенной площади, разделенной на произведение длин трех его сторон. Какой угол выбрать, по большому счету не так уж и важно – (sin B )/ b или (sin A )/ a дадут нам тот же результат. И это доказывает одну очень полезную теорему.

Теорема (закон синусов):В любом треугольнике ABC , длины сторон которого соответственно равны a, b и c ,

Закон синусов – это еще один способ вычислить высоту нашей горы. На этот раз мы сосредоточимся на a – диагонали, пролегающей между нами и вершиной:

Способ № 5 (закон синусов): В треугольнике ABD ∠ BAD = 32°, а ∠ BDA = 180° – 40° = 140°. Следовательно, ∠ ABD = 8°. Согласно закону синусов получаем

Умножим обе части на sin 32°, что даст нам a = 300 sin 32°/ sin 8° ≈ 1143 метров. А так как sin 40 ≈ 0,6428 = h / a , то

что полностью совпадает с ответом, к которому мы пришли в прошлом разделе.

Не менее замечательна в этом отношении формула Герона , с помощью которой можно найти площадь треугольника по длинам его сторон a, b и c . Сначала мы находим полупериметр p :

А потом и площадь S :