Артур Бенджамин - Магия математики - Как найти x и зачем это нужно

Загадочная природа числа i кроется в формуле

На первый взгляд это кажется совершенно невозможным: разве может быть отрицательным число, умноженное несколько раз на само себя? В конце концов, даже 0² = 0, а любая возведенная в квадрат отрицательная величина обязана стать положительной, разве нет? Не спешите рубить с плеча. Вспомните, ведь было такое время, когда вы вообще ничего не знали об отрицательных числах, да и, узнав, вряд ли сразу же поверили в их существование (как и многие-многие математики до вас). Что это вообще за глупость – количество, меньшее, чем 0? Как что-то может быть меньше, чем ничто ? Но потом в вашей жизни появляется некая ось (вроде той, что изображена чуть ниже), а вместе с ней – и все ее обитатели: положительные значения, расположившиеся справа от 0, и отрицательные значения, расположившиеся слева. В точно таком же, нестандартном ключе нам следует рассматривать и число i – тогда-то нам и откроется его истинное, реальное значение.

Число i считается мнимым – таким, которое при возведении в квадрат дает отрицательный результат. Мнимое число 2 i , например, дает (2 i )(2 i ) = 4 i ² = –4.

В алгебраическом смысле мнимые числа ничем не отличаются от чисел действительных. Судите сами:

Кстати, если взять и возвести в квадрат – i , получится тот же результат (–1), потому что (– i )(– i ) = i ² = –1. Не менее предсказуемы и последствия перемножения мнимого и действительного чисел – скажем, 3 × 2 i = 6 i .

А что со сложением? Чему, например, равна сумма 3 и 4 i ? Очевидно, что 3 + 4 i , и дальше с этим ничего сделать нельзя (равно как и ничего нельзя сделать с 1 +√ 3 ). Числа, образованные по модели a + bi (где a и b суть действительные величины), называются комплексными . Получается, что любая величина, будь она действительной (при b = 0) или мнимой (при a = 0), есть, по своей сути, особая форма комплексного числа. То есть действительное π и мнимое 7 i будут также комплексными.

Давайте попробуем разобраться в этом с помощью нескольких конкретных примеров. Начнем со сложения и вычитания:

Для умножения применим алгебраический метод FOIL , описанный в главе 2:

Для комплексного числа каждый квадратный многочлен ax ² + bx + c будет иметь два корня (или же один, но повторяющийся). Согласно формуле корней квадратного уравнения, многочлен будет равен 0 всякий раз, когда

Помните, в главе 2 мы с вами говорили о том, что нельзя извлечь квадратный корень из отрицательной величины? Но ведь никакие квадратные корни отрицательных величин нам и не нужны. Смотрите сами: уравнение x ² + 2 x + 5, например, имеет корни

Кстати, формула корней квадратного уравнения будет верна даже при комплексных значениях a, b или c .

В любом квадратном многочлене мы можем найти как минимум один корень, пусть и комплексный. На этот счет есть своя теорема.

Теорема (основная теорема алгебры):Любой многочлен p ( x ), возводимый в первую или бо́льшую степень, имеет корень z при p ( z ) = 0.

Обратите внимание, что многочлен первой степени, вроде 3 x – 6, может быть представлен как 3( x – 2), где 2 есть единственный корень 3 x – 6. Обобщая, можно сказать, что при a ≠ 0 многочлен ax – b можно представить в виде a ( x – ( b / a )), где b / a будет являться корнем ax – b .