Артур Бенджамин - Магия математики - Как найти x и зачем это нужно

Теорема:Если u ( x ) = f ( x ) + g ( x ), то u ′( x ) = f ′( x ) + g ′( x ). Другими словами, производная суммы есть сумма производных . Также если с – действительное число, производная cf ( x ) равна cf ′( x ).

Как следствие, мы можем утверждать, что, поскольку y = x ³ имеет производную 3 x ², а y = x ² – производную 2 x , производная y = x ³ + x ² будет равна 3 x ² + 2 x (например, производная функции y = 10 x ³ – 30 x ²).

Доказательство:Предположим, что u ( x ) = f ( x ) + g ( x ). Тогда

Положив h → 0 в качестве предела для обеих частей этого уравнения, получим

Обратите внимание, что, применяя этот предел справа, мы исходим из предположения, что предел суммы равен сумме пределов. Доказывать это мы, пожалуй, не станем – просто доверимся здравому смыслу, говорящему, что при приближении значений a и b к A и B значение a + b будет приближаться к A + B . Та же логика подсказывает нам, что предел произведения равен произведению пределов, а предел частного равен частному пределов. Но то, что справедливо для пределов, необязательно будет справедливо для производных. Например, производная произведения не равна произведению производных.

Что же касается второго утверждения нашей теоремы, то при v ( x ) = cf ( x )

что и требовалось доказать.◻

Чтобы продифференцировать функцию f ( x ) = x 4, сначала распишем ее в следующем виде: f ( x + h ) = ( x + h ) 4= x 4+ 4 x ³ h + 6 x ² h ² + 4 xh ³ + h 4. Коэффициенты выглядят знакомо, правда? 1, 4, 6, 4, 1… Это же числа из 4 ряда треугольника Паскаля (см. главу 4)! Следовательно,

а так как h → 0, получается, что f ′( x ) = 4 x ³. Видите закономерность? Производные x, x ², x ³ и x 4равны 1, 2 x , 3 x ² и 4 x ³ соответственно. Применение того же алгоритма к бо́льшим степеням приводит нас к одному важному правилу. (Кстати, другое популярное обозначение производной – y ′. Так и будем писать.)

Теорема (правило дифференцирования степенной функции):При n ≥ 0

Например,

а

С помощью этого закона можно дифференцировать даже функции-константы, вроде y = 1, потому что 1 = x 0, а y = x 0имеет производную 0 x –1= 0 при любом значении x . Это объясняется тем, что линия y = 1 является горизонтальной. Исходя из правила дифференцирования степенной функции и предыдущей теоремы, мы сможем дифференцировать любой многочлен. Например, если

то

Правило дифференцирования степенной функции верно и при отрицательных значениях n . Например, если

Аналогичным образом, если

Жаль только, что доказать это нам пока что не по силам.

Перед тем как дифференцировать более сложные функции, применим уже полученные знания в не менее интересных и полезных целях. Например, в целях оптимизации.