Артур Бенджамин - Магия математики - Как найти x и зачем это нужно

показала бы минимальное значение? Тогда мы нашли решение с помощью геометрии, показав, что результат может быть достигнут при x = 1. Но можно решить эту задачу значительно проще: это значит, что y ' = 0, это дает нам 1 – 1/ x ² = 0, а единственная положительная величина, которая удовлетворяет этому условию, – x = 1.

Что касается тригонометрических функций, то их дифференцировать ничуть не сложнее. Обратите внимание, что для доказательства следующей теоремы нам нужно, чтобы углы были выражены в радианах.

Теорема:Если y = sin x , то y ' = cos x , а если y = cos x , то y ' = –sin x . Другими словами, производная синуса равна косинусу , а производная косинуса – синусу со знаком минус .

Доказательство:Для доказательства нам потребуется следующая лемма ( лемма – это подсобная, подготовительная теорема, с помощью которой можно доказать более сложное и серьезное утверждение).

Лемма:

Здесь утверждается, что значение любого угла h , равного чуть больше, чем 0 (в радианах), будет близко к значению h , в то время как значение косинуса будет близко к 1. С помощью калькулятора, например, можно выяснить, что sin 0,0123 = 0,0122996…, а cos 0,0123 = 0,9999243…. С помощью этой леммы можно продифференцировать любой синус или косинус. Тождество sin ( A + B ) из главы 9 говорит нам, что

А так как h → 0, то, согласно нашей лемме, это уравнение превращается в (sin x )(0) + (cos x )(1) = cos x . Подобным же образом

И снова h → 0 дает нам (cos x )(0) – (sin x )(1) = –sin x , что и требовалось доказать.◻

То, что можно доказать с помощью такого вот графика:

На единичной окружности, часть которой изображена выше, R = (1, 0), а P = (cos h , sin h ), где h есть небольшой угол с положительным значением. В прямоугольном треугольнике OQR

Рассмотрим сектор OPR , имеющий клинообразную форму. Площадь единичной окружности равна π1² = π, сектор OPS – ее часть, выражаемая дробью h /(2π). Следовательно, площадь сектора OPR составляет π( h /2π) = h /2.

Так как сектор OPR содержит в себе треугольник OPS , а тот, в свою очередь, – треугольник OQR , сравнение их площадей дает нам

Для положительных значений a, b и c , если a < b < c , то 1/ c < 1/ b < 1/ a . Следовательно,

А так как h → 0, и cos h , и 1/cos h будут стремиться к 1, что и требовалось доказать.

◻

С помощью полученного результата и нескольких алгебраических формул (включая cos² h + sin² h = 1) можно доказать, что

◻

Производные синуса и косинуса – ключи к дифференцированию тангенса.

Теорема:Если y = tan x , то y' = 1/(cos² x ) = sec² x .

Доказательство:Предположим, что u ( x ) = tan x = (sin x )/(cos x ). Тогда

Продифференцировав обе части и применив правило дифференцирования произведения функций, получим