Артур Бенджамин - Магия математики - Как найти x и зачем это нужно

Разделим все члены на cos x и решим уравнение для tan ' ( x ):

в котором предпоследнее значение получается в результате деления тождества cos 2 x + sin 2 x = 1 на cos 2 x .

Доказательство правила дифференцирования частного:Так как u ( x ) g ( x ) = f ( x ), продифференцировав обе части уравнения, в соответствии с правилом дифференцирования произведения получим

Умножив все на g ( x ), получим

Заменим g ( x ) u ( x ) на f ( x ) и решим уравнение для u' ( x ), что приведет нас к искомому результату.◻

Теперь мы умеем дифференцировать многочлены, показательные и тригонометрические функции. Также мы научились дифференцировать их суммы, произведения и частные. Но есть еще сложные функции – функции от функций, с которыми тоже нужно уметь обращаться. Правило дифференцирования сложной функции иначе называют цепным правилом. Согласно ему, например, если f ( x ) = sin x , а g ( x ) = x ³, то

Не перепутайте: это не то же самое, что

Теорема (цепное правило):Если y = f ( g ( x )), то y' = f' ( g ( x )) g' ( x ).

Например, если f ( x ) = sin x , а g ( x ) = x ³, то f' ( x ) = cos x , а g' ( x ) = 3 x ². Согласно цепному правилу, при y = f ( g ( x )) = sin ( x ³)

Обобщая, можно сказать, что при y = sin ( g ( x )) y' = g' ( x ) cos( g ( x )). Та же логика подсказывает нам, что y = cos ( g ( x )) имеет производную y' = – g' ( x ) sin ( g ( x )).

С другой стороны, функция y' = – g' ( x ) sin ( g ( x )), согласно цепному правилу, выглядит так:

Обобщим и это: цепное правило говорит нам, что при y = ( g ( x )) ny' = n ( g ( x )) n –1 g' ( x ). А что насчет y = ( x 3) 5?

что полностью соответствует правилу дифференцирования произведения функций.

Продифференцируем y = √( x2 + 1 ) = ( x² +1) ½ .

Со степенными функциями дело обстоит ничуть не сложнее. Так как ex является собственной производной, то при y = e g ( x )имеем