Артур Бенджамин - Магия математики - Как найти x и зачем это нужно

Аналогично, для f ( x ) = cos x имеем

Ну и напоследок давайте возьмем пример, в котором ряд Тейлора равен функции при некоторых – но не всех – значениях x . Пусть это будет Здесь f (0) = 1, и, согласно цепному правилу, первые несколько производных выглядят как

Следуя и дальше этой закономерности (или воспользовавшись методом индукции), мы неизбежно придем к заключению, что n -ная производная (1 – x ) –1будет равна n !(1 – x ) −( n + 1)(а при x = 0 – просто n !). Следовательно, ряд Тейлора трансформируется в

что будет верно только при таком значении x , которое находится в диапазоне от –1 до 1. Если же x , например, будет больше 1, то складываемые величины будут становиться все больше и больше, пока сумму станет вовсе невозможно определить.

Странно, правда? Возможно, вам интересно узнать, каково это – складывать бесконечное количество чисел. А как будет выглядеть их сумма? Ответы на эти вопросы – в следующей главе, посвященной бесконечности, главе, в которой мы встретимся со многими странными, удивительными, непредсказуемыми и прекрасными тайнами математики.

Когда еще, как не в конце, под самый занавес, говорить о бесконечности? И когда еще, как не в конце, вспоминать начало? А в начале у нас была сумма всех чисел от 1 до 100:

А потом – и сумма чисел от 1 до n :

А еще были другие суммы чисел конечных диапазонов. В этой главе мы попытаемся сосчитать те числа, ряд которых имеет начало, но не имеет конца, например,

(надеюсь, мне удалось убедить вас, что в результате получится 2, причем не приблизительно , а ровно 2). Некоторые такие ряды дают очень интересные результаты сложения, например,

А другие – вовсе не имеют их, как, скажем,

В математике принято считать, что суммой всех положительных чисел является бесконечность , что записывается следующим образом:

то есть результат постоянно растет, не имея при этом верхнего предела. По сути, это означает, что ответ превосходит любое число, которое только может возникнуть у вас в голове – сотню, миллион, квадриллион… И все-таки в конце главы мы увидим, что вполне бывает, например, и такое:

Заинтригованы? Уверен, что да. Уже через несколько строк мы покинем привычный нам мир и отправимся в сумеречное царство бесконечности, где возможны самые странные вещи, – в царство, манящее всех математиков своей неизведанностью и красотой.

Является ли бесконечность числом? Не совсем, хотя с ним порой и обращаются, как с обычным числом: вы вполне можете натолкнуться на что-нибудь вроде

Теоретически никакого самого большого числа нет: вы всегда можете прибавить к нему единицу и получить еще большее число. Символ ∞ по существу обозначает величину «произвольно большую» или бо́льшую, чем любая другая положительная величина. Другой полюс бесконечности представлен −∞, величиной меньшей, чем любая другая отрицательная величина.