Артур Бенджамин - Магия математики - Как найти x и зачем это нужно

Дифференциация нужна для того, чтобы выяснять, где функция достигает своего максимума, а где – минимума. При каком, например, значении x парабола y = x ² – 8 x + 10 достигает своей низшей точки?

Как вы, наверняка, помните, проведенная через нее касательная должна иметь наклон 0. Так как y' = 2 x – 8, уравнение 2 x – 8 = 0 приведет нас к минимуму при x = 4 (кстати, y = 16 – 32 + 10 = –6). Для y = f ( x ) значение x , удовлетворяющее f' ( x ) = 0, называется критической точкой функции f . Функция y = x ² – 8 x + 10, например, имеет только одну критическую точку – x = 4.

Где же максимум? В нашем примере его попросту нет: значение y -координаты для x ² – 8 x + 10 может быть сколь угодно большим. Ограничить его можно одним единственным способом – определив для x пределы значений. Возьмем для примера 0 ≤ x ≤ 6. Тогда при x = 0 y будет равен 10, а при x = 6 – −2, то есть критической точкой для этой функции является x = 0. Обобщение этого приводит нас к одной очень важной теореме.

Теорема (теорема об экстремуме функции в точке):Если дифференцируемая на отрезке функция y = f ( x ) принимает максимальное или минимальное значение в точке x *, то x * должна быть либо критической точкой f , либо граничной точкой отрезка.

Давайте на секунду вернемся в начало главы, к задаче с лотком. Нам нужно, по сути, максимизировать функцию

где x должен находиться в диапазоне от 0 до 6. Нам нужно найти такой x , при котором значение y будет наибольшим. Так как наша функция представляет собой многочлен, ее производную можно найти как

Следовательно, ее критическими точками будут x = 2 и x = 6.

А так как мы знаем, что при объеме, равном 0, и конечных точках, равных 0 и 6, объем будет минимальным, нам остается только одна критическая точка – x = 2. Именно она и даст нам максимум – y = 128 см³.

Чем больше функций мы продифференцируем, тем больше задач сможем решить. Пожалуй, самой важной функцией в исчислении является показательная функция y = e x . Ее особенность в том, что она равна собственной производной.

Теорема:Если y = e x , то y' = e x .

Почему f ( x ) = e xсоответствует f '( x ) = e x? Смотрите, в чем секрет. Сначала обратите внимание на то, что

Вспомним, что е , по сути, есть

что означает, что с увеличением n значение члена (1 + 1/ n ) nбудет все ближе и ближе подходить к e . Теперь предположим, что h = 1/ n . При очень большом значении n h = 1/ n находится очень близко к 0. Следовательно, при h , близком к 0,

Возведя обе части в степень h (и помня, что ( a b ) c = a bc ), получаем

А есть ли еще такие функции, которые равны своим производным? Есть. Но все они сводятся к y = ce x , где c заменяется любым действительным числом (в том числе и 0, который превращает функцию в постоянную y = 0).

Не так давно мы выяснили, что при сложении функций производная суммы равна сумме производных. А что насчет умножения? Увы, но производная произведения не равна произведению производных. Тем не менее посчитать ее не очень сложно – для этого достаточно воспользоваться несложной теоремой.

Теорема (правило дифференцирования произведения функций):Если y = f ( x ) g ( x ), то