Артур Бенджамин - Магия математики - Как найти x и зачем это нужно

Теорема Пифагора:В прямоугольном треугольнике с катетами длиной a и b и гипотенузой длиной c

Существует более трех сотен различных доказательств этой теоремы, но мы остановимся лишь на самых простых. Можете пропускать некоторые из них, если хотите: моя основная цель заключается в том, чтобы хотя бы одно из них заставило вас улыбнуться, а может быть, даже восхититься.

Доказательство 1:Ниже на рисунке изображен квадрат, составленный из четырех конгруэнтных прямоугольных треугольников.

Вопрос: Какова площадь этого квадрата?

Ответ 1: Длина каждой из сторон квадрата равна a + b , следовательно, его площадь составит ( a + b )² = a ² + 2 ab + b ².

Ответ 2: С другой стороны, большой квадрат состоит из четырех треугольников, площадь каждого из которых равна ab /2, и пустого (тоже квадратного) пространства между ними, площадь которого равна c ². (Кстати, откуда мы взяли, что оно является квадратным? Во-первых, мы знаем, что его стороны равны. Во-вторых, благодаря правилу симметрии, мы можем убедиться в том, что равны и все его углы: если повернуть эту фигуру на 90°, она будет абсолютно идентична изначальной, а значит, все ее углы должны быть одинаковыми. Так как сумма углов любого четырехугольника всегда составляет 360°, мы можем сделать вывод, что каждый из четырех углов нашей фигуры равен 90°.) Следовательно, их общая площадь выглядит как 4( ab )/2 + c ² = 2 ab + c ².

Сведем первый и второй ответы к одному уравнению:

Вычтем 2 ab из обеих сторон и получим

что и требовалось доказать.☺

Доказательство 2:Возьмем ту же фигуру, что и в предыдущем доказательстве, только немного поменяем расположение треугольников в ней. И если на левом рисунке очевидно, что площадь пустого пространства равна c ², то на правом она уже составит a ² + b ². Следовательно, c ² = a ² + b ², что и требовалось доказать.☺

Доказательство 3:Снова передвинем треугольники, только на этот раз так, чтобы они располагались более компактно (как на следующем рисунке), а c ² была бы площадью не маленького внутреннего, а большого квадрата (это будет все еще квадрат, ведь каждый его угол есть сумма ∠A и ∠B, то есть 90°). Общая площадь треугольников по-прежнему равна 4( ab /2) = 2 ab . Площадь же внутреннего пустого пространства составит ( a – b )² = a ² – 2 ab + b ². Соединив все вместе, имеем 2 ab + ( a ² – 2 ab + b ²) = a ² + b ², что и требовалось доказать.

Доказательство 4:Это будет доказательство подобием, поэтому нам нужно сначала вспомнить все, что мы знаем и подобных треугольниках. В прямоугольном треугольнике ABC проведем линию CD так, чтобы она была перпендикулярна гипотенузе AB , как на рисунке:

Обратите внимание, что треугольник ADC содержит как прямой угол, так и ∠A, из чего следует, что его третий угол должен быть конгруэнтным ∠B. Подобным же образом треугольник CDB содержит как прямой угол, так и ∠B, из чего следует, что его третий угол должен быть конгруэнтным ∠A. Следовательно, все три треугольника будут подобными:

Имейте в виду, что порядок букв здесь имеет важное значение: ∠ACB = ∠ADC = ∠CDB = 90° являются прямыми углами, как и ∠A = ∠BAC = ∠CAD = ∠BCD и ∠B = ∠CBA = ∠DCA = ∠DBC. Сопоставление длин сторон первых двух треугольников дает

Точно так же для первого и третьего треугольников –