Артур Бенджамин - Магия математики - Как найти x и зачем это нужно

Возьмем фигуру, состоящую из четырех костяшек домино, каждая из которых имеет размер x на 1/ x . Расположены они так, чтобы в пространстве между ними получился квадрат. Какова будет общая площадь всей фигуры (включая этот внутренний квадрат)?

С одной стороны, поскольку фигура представляет собой квадрат x + 1/ x на x + 1/ x , ее площадь должна быть ( x + 1/ x )². С другой стороны, площадь каждой костяшки домино равна 1, поэтому площадь фигуры в целом составит как минимум 4. Следовательно,

или x + 1/ x ≥ 2, что и требовалось доказать.☺

Начав с площади прямоугольника, можно найти площадь практически любой другой геометрической фигуры, в первую очередь – треугольника.

Теорема:Площадь треугольника с длиной основания b и высотой h составляет

Для наглядности возьмем три конкретных треугольника, основание каждого из которых рана b , а высота – h , что значит, что их площадь также должна быть равна. Это, по сути, наш третий вопрос, ответ на который, готов поспорить, многих из вас удивил.

В зависимости от того, какие размеры имеют прилежащие к основанию AC углы ∠ A и ∠ C , нам нужно рассмотреть три разных частных случая, а затем создать копию треугольника ABC и вписать его вместе с оригиналом в прямоугольник с площадью bh , как показано на рисунке. Треугольник ABC займет ровно половину этой площади, а значит, его площадь составит как мы и предполагали.

Если углы ∠ A и ∠ C острые, остроумным будет и доказательство. Из точки B проведите линию длиной h так, чтобы она была перпендикулярна отрезку AC (она называется высотой треугольника ABC ), пересекая его в точке X , как показано на рисунке:

AC , таким образом, состоит из отрезков AX и XC , длины которых составляют соответственно b 1и b 2, где b 1+ b 2= b . А так как треугольники BXA и BXC получились у нас прямоугольными, то, согласно предыдущему примеру, их площади будут равны соответственно. Следовательно, площадь большого треугольника ABC –

что и требовалось доказать.

В случае же, если ∠ A или ∠ C является тупым, чертеж будет выглядеть вот так:

В примере с остроугольным треугольником мы представляли ABC как сумму двух прямоугольных треугольников. Здесь же нам нужна их разность . Высота любом тупоугольном треугольнике выходит за его границы, образуя тем самым большой треугольник. В нашем случае это ABY , длина основания которого равна b + c , а площадь – Маленький же прямоугольный треугольник CBY имеет площадь Следовательно, площадь ABC может быть представлена как

что и требовалось доказать.

Теорема Пифагора является, пожалуй, чуть ли не самой популярной теоремой в геометрии. И уж точно одной из самой популярных в математике вообще. Поэтому в том, что ей посвящен целый раздел нашей «геометрической» главы, нет ничего странного.

Итак, в прямоугольном треугольнике сторона, лежащая напротив угла в 90°, называется гипотенузой, другие две стороны – катетами. В треугольнике, изображенном чуть ниже, катетами являются отрезки BC (длиной a ) и AC (длиной b ), а гипотенузой – отрезок AB (длиной c ).