Артур Бенджамин - Магия математики - Как найти x и зачем это нужно

Чуть выше мы видели несколько примеров решения уравнений с помощью золотого правила алгебры. Если уравнение содержит только одно неизвестное (скажем, x ) и обе его части – линейные (что значит, что в них есть х или кратные ему величины, но при этом это единственная их сложность – никаких x ²), найти x несложно. Например, чтобы решить уравнение

мы можем к его левой и правой части сначала добавить 7 и получить 9 x = 54, а потом разделить обе части на 9 и получить искомое: x = 6.

Или вот другой пример, чуточку сложнее:

Сначала мы упростим его, убрав из обеих частей 2 x , а потом (ну или вместе с первым шагом, если хотите) 11, что приводит нас к

решением же будет x = 7/3. В конечном итоге любое уравнение можно свести к ax = b (или ax – b = 0) и его решению x = b / a (исходя из того, что a ≠ 0).

Ситуация немного запутывается, если мы имеем дело с квадратным уравнением (в котором на авансцене появляется x ²). Самый простой вариант квадратного уравнения:

которое имеет два решения: x = 3 и x = –3. И даже когда правая сторона уравнения не является квадратом простого числа, вроде

у нас все еще есть два решения: x = √10 = 3,16… и x = – √10 = –3,16… В принципе, если n > 0, число √n – квадратный корень из n – обозначает положительное число с квадратом n . Если n не является квадратом целого числа, √n легче всего посчитать на калькуляторе.

А как насчет уравнения x ² = –9? Пока мы вынуждены сказать, что оно не имеет решения: ведь не существует действительного числа , которое при возведении в квадрат давало бы –9. Но в главе 10 мы увидим, что на самом деле существуют целых два ответа: x = 3 i и x = –3 i , где i – это так называемое мнимое число с квадратом, равным –1. Пусть пока это кажется вам странным и нелепым. Когда-то нам отрицательные числа казались невозможными. (Что это за количество такое – меньше ноля?) А ведь достаточно просто посмотреть на них под правильным углом, чтобы ухватить суть.

Уравнение вроде

выглядит немного сложнее из-за этого 4 x , зато у нас есть несколько способов его решить – ну, к этому мы привыкли, когда считали в уме.

Первый метод, который я обычно применяю в таких случаях, – метод разложения на множители . Сначала перенесем все в левую часть уравнения, чтобы справа остался только 0. Соответственно, наше уравнение превращается в

И что теперь? А теперь вспоминаем последний раздел, где мы говорили о FOIL и где мы уже видели, что x ² + 4 x – 12 = ( x + 6)( x – 2). А это значит, что наше уравнение преобразуется в

Единственная возможная ситуация, в которой произведение двух сложных множителей равно 0, – это когда один из них равен 0. Следовательно, у нас либо x + 6 = 0, либо x – 2 = 0, то есть

что и является ответом (не забудьте проверить).

Применяя метод FOIL, получаем ( x + a )( x + b ) = x ² + ( a + b ) x + ab . Что превращает разложение на множители в непростую, в общем-то, задачку. Например, в последнем примере нам нужно найти два числа: a и b – с суммой 4 и произведением –12. Ответ – a = 6, b = –2 – позволяет нам достичь желаемого и разложить на множители. Давайте попрактикуемся и используем метод разложения на множители x ² + 11 x + 24. Другими словами, перед нами стоит задача найти два числа, которые в сумме давали бы 11, а при умножении – 24. Подходят 3 и 8, а значит x ² + 11 x + 24 = ( x + 3)( x + 8).

А теперь взгляните на x ² + 9 x = –13. Найти множители для x ² + 9 x + 13 не так-то и просто. Но не отчаивайтесь. В таких случаях на помощь нам придет формула корней квадратного уравнения. Пользу ее переоценить невозможно – вот, смотрите сами: