Артур Бенджамин - Магия математики - Как найти x и зачем это нужно

Возможность привести первое уравнение к виду R = 2 000 000 – S позволяет нам преобразовать и второе уравнение:

или 15 S + 12 000 000 – 6 S = 15 000 000, в котором у нас из неизвестных остается только S . Продолжаем упрощать:

Вычтем из обеих частей 12 000 000:

Значит, S примерно равняется трети миллиона: S ≈ 333 333, а R = 2 000 000 – S ≈ 1 666 667 (проверим: общий доход составил $15 × 333 333 + $6 × 1 666 667 ≈ $15 000 000).

Теперь самое время обсудить правило, которым мы в этой книге уже использовали и продолжим использовать, хотя до этого напрямую о нем не говорили. Называется оно « закон дистрибутивности» и работает тогда, когда у вас в одной задаче или одном уравнении есть одновременно сложение и умножение. Согласно этому закону, для любых чисел a, b и с верно следующее:

Это правило следует использовать при умножении однозначного числа на двузначное, например,

Очень полезная штука, когда дело доходит до счета. Допустим, у нас есть 7 кошельков с монетами: по 20 золотых и 8 серебряных монет в каждом. Сколько у нас всего монет? С одной стороны, можно подойти к проблеме так: в каждом кошельке по 28 монет, значит, всего их 7 × 28. С другой стороны, можно посчитать отдельно монеты разного достоинства: 7 × 20 золотых и 7 × 8 серебряных, значит, всего: (7 × 20) + (7 × 8). Следовательно, 7 × 28 = (7 × 20) + (7 × 8).

Закон дистрибутивности можно выразить и геометрически, начертив прямоугольник и разбив его на два части, как на рисунке.

Как видим, площадь прямоугольника равна a ( b + c ). Однако левая часть выглядит как ab , правая – как ac , поэтому в итоге у нас получается ab + ac . Отличная иллюстрация к закону дистрибутивности при условии, что a, b и c – положительные величины.

Иногда, кстати, его можно применить одновременно и к числам, и переменным, например,

«Читать» это уравнение можно двумя способами: слева направо и справа налево. В первом случае мы видим 3, умноженное на 2 x + 7. Во втором мы разлагаем 6 x + 21 на сомножители, «вытягивая» тройку из 6 x и 21.

Почему «минус» на «минус» при умножении дают «плюс»? Иными словами, с чего бы вдруг (–5) × (–7) = 35? У учителей всегда наготове с десяток самых разных объяснений, начиная с аннулирования долгов и заканчивая железобетонным «ну, потому что вот так». Но настоящая причина – в том, что закон дистрибутивности работает по отношению ко всем числам, не только положительным. А раз уж мы применяем его и к отрицательным числам (и к нолю, кстати), будьте готовы столкнуться с последствиями. Давайте посмотрим, почему.

Допустим, мы примем тот факт, что –5 × 0 = 0, а –5 × 7 = –35. (Для этих примеров тоже имеются свои доказательства, очень близкие к тому, что мы выстраиваем сейчас, но большинство с радостью просто принимают эти утверждения на веру.) Взгляните-ка вот на что:

Чему это равно? С одной стороны, это все то же –5 × 0, равное, как нам хорошо известно, нолю. С другой стороны, использовав закон дистрибутивности, мы получим ((–5) × (–7)) + (–5 × 7). Следовательно,

А если ((–5) × (–7)) – 35 = 0, мы вынуждены признать, что (–5) × (–7) = 35. Обобщая, можно сказать, что закон дистрибутивности утверждает, что для всех значений a и b будет верно следующее: (– a ) × (– b ) = ab .

Одним из самых важных и полезных следствий из закона дистрибутивности является алгебраическое правило FOIL [3], согласно которому для любых переменных a, b, c, d верно следующее:

Смотрите, как правило FOIL работает на практике: cначала мы перемножаем первые числа в ( a + b )( c + d ), то есть ac. Потом – внешние , то есть ad . Затем – внутренние: bc . И наконец – последние: bd .