Артур Бенджамин - Магия математики - Как найти x и зачем это нужно

Начнем с загадки. Найдите число, которое становится в три раза больше, если к нему прибавить 5.

Чтобы ее решить, заменим неизвестное нам число буквой х . Добавление пятерки дает нам х + 5, утроение – 3 х . Мы хотим, чтобы эти две записи были равными, поэтому нам придется решать уравнение

Уберем по одному х из обеих его частей и получим

(смотрите, откуда берется 2 x : 3 x – x – то же, что и 3 x – 1 x , то есть 2 x ). Разделим обе части уравнения на 2:

Можем проверить правильность ответа: 2,5 + 5 = 7,5, Тот же ответ получаем, умножая 2,5 на 3.

А вот еще один фокус, в сути которого можно легко разобраться с помощью алгебры. Запишите любое трехзначное число, цифры в котором идут по убывающей (например, 842 или 951). Затем запишите эти числа в обратном порядке и вычтите второе число из первого. Какой бы ответ у вас ни получился, запишите в обратном порядке и его, а затем сложите эти два числа. Вот пример с числом 853:

Попробуйте другое число. Что вышло? А то, что, если четко и правильно выполнять все инструкции, вы всегда будете получать 1089! Как так?

Алгебра, помоги! Итак, начинаем мы с трехзначного числа abc , в котором a > b > c . Точно так же, как и 853 = (8 × 100) + (5 × 10) + 3, число abc равняется 100 a + 10 b + c . Записав его справа налево, получим число cba , равное 100 c + 10 b + a . Вычитание дает нам

Другими словами, нам надо умножить полученную разность на 99. А раз в изначальном нашем числе цифры идут по убыванию, a – c даст нам как минимум 2: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9. Следовательно, выполнив вычитание, мы гарантированно получим

И каждое из этих чисел, если мы прибавим его к его «зеркальному» двойнику, даст

– пару, неизбежно дающую в сумме 1089.

Этот пример отлично иллюстрирует то, что я называю золотым правилом алгебры: совершайте с одной частью уравнения те же действия, что и с другой его частью.

Например, нам нужно найти x в уравнении

Наша основная задача – изолировать х , и первый шаг на пути к этому – разделить обе части на 3, чтобы упростить решение:

Второй шаг – избавиться от 10, которую надо вычесть и слева и справа, то есть

Наконец делим все на 2, упрощая тем самым левую часть, в итоге получая

Ну и проверим ответ, конечно – это никогда не помешает: При x = 10 3(2 x + 10) = 3(30) = 90, что верно. Интересно, есть ли у этого уравнения другое решение? Ответ – нет, потому что любое значение х должно удовлетворять не только этому, но и любому последующему уравнению, так что x = 10 – единственный верный ответ.

А вот алгебраическая задачка из реальной жизни: в 2014 г. газета New Tork Times рассказала читателям, что фильм «Интервью» ( The Interview ) компании «Сони Пикчерз» в первые четыре дня после релиза собрал в Интернете $15 млн. Но компания не уточнила, сколько из этой суммы принесли покупки фильма в Сети ($15), а сколько – платные просмотры ($6); зато мы знаем, что всего было совершено около 2 млн транзакций. Чтобы эту задачку решить, обозначим количество онлайн-продаж буквой S , количество платных просмотров – буквой R . Составим уравнение

А так как каждая транзакция по продаже – это $15 прибыли, а по просмотру – $6, уравнение преобразуется: