Рудольф Ташнер - Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением

Сразу после окончания Первой мировой войны, еще до того, как Вейль написал свою пристрастную, направленную против позиции Гильберта статью, произошло одно событие, которое, при иных обстоятельствах, могло бы изменить лицо математики ХХ столетия. Дело в том, что, несмотря на расхождения во взглядах на бесконечное, Гильберт очень высоко ценил своего голландского коллегу Брауэра за его математические труды, считая его глубоким мыслителем и выдающимся ученым. Если бы они, прежде чем исступленно вгрызться в свои позиции, смогли лично встретиться и побеседовать, то, возможно, не только Вейль, но и его учитель Давид Гильберт убедился бы в правоте Брауэра. Такая возможность была, когда Брауэр, во время летних каникул, будучи в Швейцарии, посетил Вейля и воодушевил его своими воззрениями на бесконечное. Гильберт был в гостях у Вейля всего за пару дней до этого, и Брауэр послал ему открытку, в которой глубоко сожалел о том, что им не удалось встретиться лично…

Научный спор между Брауэром и Гильбертом начал перерастать в личную ссору, и оба математика, независимо друг от друга, обратились к Альберту Эйнштейну с просьбой выступить третейским судьей в конфликте. Эйнштейн отклонил предложение на том основании, что ему тяжело разбираться в основаниях математики, а о самом конфликте отозвался как о «войне мышей и лягушек».

Попытка проанализировать здесь методы Гёделя завела бы нас слишком далеко. О них подробно пишет Герман Вейль в своей переработанной книге «Философия математики и естествознания» (Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft). Достаточно будет сказать, что основная мысль Гёделя заключается в том, чтобы закодировать высказывания о формальной системе так, чтобы они превратились в арифметические высказывания и тем самым автоматически включились бы в систему. Примечательно, что такое кодирование выполняется с помощью простых чисел. Таким образом, простые числа играют выдающуюся роль и в изобретенном Гёделем «шифровании», которое сегодня называют «гёделизацией».

Темой диссертации Гёделя является полнота логического исчисления. Чистая логика, которая еще не включает в себя арифметику чисел, является полной и непротиворечивой системой. Этим утверждением Гёдель внес свой вклад в развитие программы Гильберта. Тем удивительнее смотрится на этом фоне теорема Гёделя о неполноте.

Яркий пример — теорема Гудстейна, с которой мы познакомились в примечании 10. В 1982 г. два британских математика Лоренс Кирби и Джеффри Брюс Парис доказали, что существует непротиворечивая математика, в которой теорема Гудстейна верна, но существует и другая непротиворечивая математика, в которой эта теорема неверна.

Подобное пари заключил в 1918 г. Герман Вейль со своим коллегой Дьердем Пойа в присутствии двенадцати свидетелей-математиков: Вейль утверждал, что следующие двадцать лет подавляющее большинство математиков будут заниматься своей наукой в духе, предначертанном Пуанкаре, Брауэром и им самим, а слепые аксиоматические правила игры будут отброшены, ибо они столь же бессмысленны — согласно сформулированному Вейлем и Пойа пари, — как натурфилософия Гегеля. Когда двадцать лет спустя вся компания собралась в прежнем составе, рассудить, кто выиграл спор, всем, включая и самого Германа Вейля, было ясно, что выиграл Пойа. Практически все математики занимались своей наукой так, словно были всеведущими и всемогущими властителями царства бесконечного, а если на горизонте появлялась угроза, то они прятались в мнимо безопасной гавани правил игры с аксиомами. Джон фон Нейман следующим образом описывает это положение вещей в статье «Математик» (The Mathematician), помещенной в вышедшем в 1947 г. под редакцией Р. Хейвуда сборнике «Труды разума» (The Works of Mind): «Лишь очень немногие математики оказались готовы к тому, чтобы принять новые требовательные масштабы (фон Нейман имел в виду строгую интуиционистскую математику Брауэра и Вейля) и применить их в собственной работе. Очень многие, однако, признавали, что, на первый взгляд, Вейль и Брауэр были правы. Сами же они (математики) продолжали следовать старым, “простым” методам, вероятно, в надежде, что когда-нибудь кто-нибудь найдет ответ на интуиционистскую критику и апостериори их труд будет оправдан в глазах потомков».

«В настоящее же время, — пишет далее фон Нейман в той же статье, — спор об “основах” далеко не окончен, но представляется весьма маловероятным, что, если не считать незначительного меньшинства, математики откажутся от классической системы».