Рудольф Ташнер - Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением

Прорези могут быть прикрыты расположенной снизу длинной линейкой: если линейку сдвигают вверх, под ней обнаруживаются пять прорезей, и в них нанесены цифры. При этом все устроено так, что сумма цифр в парах прорезей — верхней и нижней — равна девяти. Если сверху прочитывается число 31 415, которое прикрывается сдвинутой кверху линейкой, то в открывшихся прорезях видны цифры 68 584. Мы назовем это число «сопряженным» с числом 31 415.

На валиках с нанесенными цифрами, которые видны в прорезях, Паскаль поместил в двух строчках по 10 цифр от нуля до девяти. В верхней строчке в следующем порядке: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — так, чтобы при вращении соответствующего колесика по часовой стрелке значения цифр возрастали; в нижней строчке цифры последовательности расположены в противоположном порядке: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0. Эти цифры нижней строчки становятся видны только в том случае, когда уже упомянутую прикрывающую линейку сдвигают кверху. Если, например, в верхней строке прочитывается первое число 31 415, то в нижней появляется второе число 68 584, сопряженное с первым. Смысл этого устройства состоит в том, чтобы его можно было использовать для выполнения не только сложения, но и вычитания. Собственно, вычитание становится возможным при вращении колесика против часовой стрелки, но такое вращение ломало рычажный механизм переноса. Поэтому Паскаль установил в машине стопор, предотвращавший обратный поворот колесика. Например, вычитание 61 — 45 Паскаль с помощью своей машины выполнял, следуя своим изящным соображениям относительно сложения, так: рассчитывается число, сопряженное с 61. Для этого его вычитают из 99 999 и получают 99 999 — 61 = 99 938. Если прибавить к этому число 45, то получится

99 999 — 61 + 45 = 99 999 — (61 — 45).

Это и есть сопряженное число разности 61 — 45, которую мы хотим найти. Фактически получается сумма 99 938 + 45, то есть число 99 983, а сопряженное с ним число есть 00016, то есть искомая разность. Исходя из этого Паскаль вычисляет ее, то есть 61 — 45, следующим способом: на «паскалине» он устанавливает число 00061, но устанавливает в нижних прорезях. В верхних прорезях появляется сопряженное ему число 99 938, но этот результат Паскаля не интересует, и он выполняет сложение, прибавляя 45 при открытых нижних прорезях, где видит искомое число 00016.

Элемент, соответствующий логическому высказыванию «не- p », сокращенно обозначаемом ¬ p называется инвертором (вентилем «НЕ»). Элемент, соответствующий логическому высказыванию «ни p , ни q », сокращенно обозначаемому p ↓ q , называется вентилем «ИЛИ-НЕ».

При последовательном соединении вентиля «ИЛИ-НЕ» и инвертора получается вентиль «ИЛИ», соответствующий логическому высказыванию «или p, или q , или и p , и q », сокращенно обозначаемому p ∨ q . Только когда p = 0 и q = 0, p ∨ q = 0. Во всех других случаях p ∨ q = 1, ибо в этом случае по крайней мере одно из высказываний p или q является истинным, что отвечает выражению «или».

Два параллельно подключенных инвертора и один последовательно соединенный вентиль «ИЛИ-НЕ» дают вместе вентиль «И». Это соединение соответствует логическому высказыванию « p и q », сокращенно обозначаемому p ∧ q . Только если p = 1 и q = 1, p ∧ q = 1. Во всех остальных случаях p ∧ q = 0, ибо в таких случаях по крайней мере одно из высказываний p или q является ложным, а значит, ложным является и высказывание « p и q ».

Представим себе три входа, обозначенные p, q и r , подключенные к семи параллельным вентилям «И».

Перед левыми тремя из семи вентилей «И» в разных комбинациях в два из трех входов включены инверторы. Перед правыми тремя из семи вентилей «И» в разных комбинациях в один из трех входов также включены инверторы. Только к среднему из семи вентилей «И» все три входа p, q и r подключены непосредственно. Выход среднего вентиля «И», разветвляясь, идет на вход двух вентилей «ИЛИ». На левый вентиль «ИЛИ» идут также выходы из трех левых вентилей «И», а на правый вентиль «ИЛИ» идут выходы из трех правых вентилей «И». Выход из левого вентиля «ИЛИ» мы обозначим символом s , а выход из правого вентиля «ИЛИ» мы обозначим символом t .