Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

2

3 r

3

⎢( r − 2 2

R

r c

⎣

c)

⎥⎦

Приведем дроби к общему знаменателю и раскроем скобки в числителе: 2

4 G

π R

ρ r −(2

2

3 r − 2 rR + R

c c п

)

a

Δ =

=

3

( r − R )2 2 r c

3

2

4 G

π R

ρ

2 rR − R

п c c

=

.

3

( r − R )2 2 r c

Перепишем все это в более внятном виде, сократив все, какие удастся, множители r в числителе и знаменателе:

⎛

R c ⎞

rR 2

3 c

−

⎜

⎟

4π ρ

G R

r п

⎝

⎠

Δ a =

.

3

⎛

R c ⎞2

4 r 1−

⎜

⎟

⎝

r ⎠

263

Решения

Вычисления почти закончены, но мы еще не воспользовались тем, что R ا r ; раз так, то R / r ا 1, и мы можем пренебречь еще несколькими c c членами выражения:

3

3

4 G

π R

ρ 2 rR

8 G

π R

ρ R

п c п с a

Δ =

=

.

4

3

3 r

3 r

Проделанные умозаключения на самом деле предполагают применение дифференциального исчисления, хотя мы это так и не называем.

Разница в ускорениях объясняется тем, что камень, который ближе к планете, подвергается более сильному притяжению планеты, чем камень, который от нее дальше. Эта разница приводит тому, что камни растягивает в разные стороны друг от друга.

63. bКамни держатся вместе благодаря собственной гравитации спутника. Камень в центре не ощущает этой силы: спутник окружает его со всех сторон симметрично и не тянет в какую-то сторону сильнее остальных. Но камень на поверхности ощущает на себе гравитацию спутника в полной мере.

Эта сила направлена к центру спутника, к находящемуся там камню, и тем самым противодействует растяжению за счет приливной силы, которую мы нашли в части а). Соответствующее ускорение задается также законом всемирного тяготения Ньютона:

3

GM 4 G

π R

ρ

4 G

π R

ρ

c с a

=

=

=

,

собственная гравитация

2

2

R

3 R

3 c c где М — это полная масса спутника.

с

63. сДве силы — приливная сила, с которой действует планета, и собственная гравитация спутника — действуют противоположно. Спутник проиграет в этой борьбе и развалится под действием приливных эффектов в момент, когда приливная сила перевесит собственную гравитацию: 3

8 G

π R

ρ R

4 G

π R

ρ

п c с

>

3

3 r

3

264

Решения

3

2 R п >1,

3 r или

3

3

2 R > r п

1/3

2 R = 1,26 R > r .

П

П

Спутники, которые вращаются ближе этого расстояния к планете, скорее всего, будут разорваны приливными силами.

63. dУ каменных планет не бывает спутников ближе предела Роша, зато у газовых гигантов они встречаются (Метида и Адрастея у Юпитера, Пан, Атлас, Прометей и Пандора — у Сатурна, Корделия, Офелия, Бьянка и

Крессида — у Урана, Наяда, Таласса и Деспина — у Нептуна). Наши расчеты показали, что предел Роша не зависит от плотности, однако мы предполагали, что плотность у спутника и планеты одна и та же. Если плотность спутника выше, чем плотность газового гиганта (низкая), собственная гравитация окажется сильнее, что позволяет некоторым каменным спутникам выживать и ближе предела Роша от газовых планет.

Кольца Сатурна лежат внутри предела Роша планеты и состоят из частиц льда, плотность которых примерно равна плотности Сатурна. Эти частицы не объединились в спутники из-за приливных сил со стороны Сатурна. Однако на орбитах вокруг Сатурна за пределом Роша ледяные спутники все же есть.

64. Орбиты и температуры планет

64. аЭто задача на третий закон Кеплера. Однако она отличается от задач о вращении Земли вокруг Солнца, поскольку масса звезды больше солнечной, а большая полуось орбиты Префекта больше земной. Запишем

Ньютонову форму третьего закона Кеплера для этих случаев: 2 3

2

4π a Земли

P

=

,

Земли

GM Солнца

265

Решения

2 3

4π a

2

Префекта

P

=

.

Префекта

GM звезды

Берем отношение этих величин. Много всего сразу сокращается: 2

3

⎛ P

⎞ ⎛ a

⎞

Префекта

Префекта

⎛ M

⎞

Солнца

3

2

⎜

⎟ = ⎜

⎟ ⎜

⎟ = 4 / 4 = 4.

P

a

⎜ M

⎟

⎝ Земли ⎠ ⎝ Земли ⎠ ⎝ звезды ⎠

Тогда Р

= 4 Р