Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

10 кг м / с m =

18

(10 м/с) =4×10 кг.

2 ×

2

4

Обратите внимание, что мы выразили джоули через килограммы, метры и секунды. Да, величина получилась солидная! А насколько солидная, мы узнаем чуть позже.

Для всех земных океанов числа будут еще больше. Средняя глубина океана на Земле составляет 3,5 километра, то есть примерно 20 раз по 200 метров из расчетов, которые мы только что проделали. Поэтому полная масса океанов окажется в 20 раз больше найденной величины, а следовательно, кинетическая энергия, как и масса, падающего астероида, необходимые, чтобы испарить все океаны, будет в 3500/200 раз больше, то есть 7 1019 кг.

260

Решения

62. сОтношения между массой, плотностью и объемом, как мы уже видели, составляют m = V . Мы знаем и m , и нас просят найти V . Решить это уравнение для V очень просто, но прежде вспомним, что дана нам в неподходящих единицах, и нам нужно перевести ее килограммы на кубические метры: 3

1 кг

⎛ 100 см⎞3

ρ = 3,0 г / см ×

×

=

⎜

⎟

3

3000 кг / м.

1000 г ⎝ м ⎠

Теперь мы готовы вычислять объемы. Для астероида-испарителя эпипелагиальной зоны получаем

18 m

4 10 кг

15 3

V

×

= =

≈ 1×10 м

3

ρ 3000 кг / м с точностью до одной значащей цифры. Что же касается всего мирового океана, мы аналогичным образом получаем m

7 × 19

V = =

10 кг ≈ 2× 16 3

10 м.

ρ

3

3000 кг / м

62. dМы вычислили объемы астероидов в части с), теперь нам нужно найти их радиусы. Объем сферы равен 4 r 3/3. Мы хотим получить отсюда радиусы. С точностью до одной значащей цифры (а здесь мы считаем именно с такой точностью) = 3, поэтому решение уравнения для радиуса выглядит так:

⎛ V ⎞1/3 r = ⎜ ⎟

⎝ ⎠.

4

Подставим это в уравнения для обоих случаев и получим

⎛ 10 м ⎞1/3

15 3 r = ⎜

⎟ 60 000 метров для астероида, который испарит эпипелаги-

⎝ 4 ⎠

альную зону.

Да, это и правда большой астероид, его радиус — 60 километров.

Аналогичные вычисления для астероида, который испарит все океаны, дают радиус 170 километров — еще больше.

261

Решения

Нам дано, что число астероидов данного радиуса, падающих на Землю, пропорционально обратному квадрату этого радиуса. Поэтому, если за период Поздней тяжелой бомбардировки на землю трижды падали астероиды, испарявшие океаны, то

−

⎛

⎞ 2

60 км

3 ×

=

⎜

⎟

20

⎝ 170 км⎠

астероидов (с точностью до одной значащей цифры) были достаточно велики, чтобы испарить эпипелагиальную зону. То есть может оказаться, что если жизнь на Земле зародилась на ранних этапах ее истории, ее 20 раз уничтожали подчистую!

Если эти катастрофы произошли за период в 600 миллионов лет, то среднее время между ними составляло 600 миллионов лет/20, или около

30 миллионов лет.

63. Разрушители планет

63. аПрежде чем приступить к решению, заметьте, что мы несколько злоупотребляем вторым законом Ньютона. Он гласит, что ускорение тела, помноженное на его массу, равно сумме всех сил, действующих на тело.

Здесь нам нужно ускорение, вызванное каждой силой по отдельности, то есть это каждая отдельная сила, поделенная на соответствующую массу.

Общее ускорение — это сумма отдельных ускорений.

Рассмотрим два камня — один в центре, второй на поверхности спутника; пометим их 1 и 2. Расстояние от каждого из них до центра планеты

(откуда действует эффективная гравитационная сила) равно r и r — R соот-

c ветственно. Второй закон Ньютона и закон всемирного тяготения говорят, что ускорение каждого из камней, вызванное гравитацией планеты, не зависит от массы камня. Это ускорение задается формулой

GM

a =

п,

1

2 r

262

Решения и

GM

a =

п

,

2

( r − Rm )2 где M , разумеется, масса планеты. Нам эта величина не дана, но мы знаем, п что масса планеты равна M = (4/3) R 3 (масса равна плотности, умноженп п ной на объем), поэтому

GM

4 G R

п

π ρ 3 a =

=

п,

1

2

2 r

3 r

GM

4 G R

п

π ρ 3 a =

п.

2

( r R ) =

− 2 3( r − R )2 c c

В задаче просят найти разницу двух ускорений. Камень на поверхности ближе к планете, поэтому гравитационное воздействие на него сильнее.

Тогда получим

3

3

3 ⎡

⎤

4π ρ

G R

4 G R

4 G R

п

π ρ п

π ρ

Δ a =

1

1 a a

.

2 − 1 =

−

=

п ⎢

− ⎥

3( r − R )2