Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

60. dДля начала выясним, сколько энергии Орк получает от Солнца в единицу времени. Площадь его сечения R 2. Это площадь тени, которую п отбрасывает Орк, поэтому доля совокупной энергии нашей звезды, которую получает Орк, — это отношение площади сечения к площади поверхности сферы, центр которой — Солнце, а радиус — расстояние от Солнца до Орка: π r

⎛ r ⎞2

2 =

.

2

⎜ ⎟

4π d

⎝ 2 d ⎠

Тогда количество света в единицу времени, попадающее на Орк, составляет L ( r /2 d 2). Орк отражает долю А этого света, поэтому общее количество отраженного света равно АL ( r /2 d 2).

60. еСобственно, в части d) мы вычислили светимость Орка (по крайней мере, в отраженном свете). Мы наблюдаем Орк с расстояния d (вспомним, что

254

Решения нужно исходить из приближения, согласно которому расстояние от Солнца до Орка и от Земли до Орка одинаково). Поэтому яркость b найти просто —

применим закон обратных квадратов:

⎛ r ⎞2

2

=

1 яркость r b AL ⎜ ⎟ ×

=

⎝ d ⎠

AL

.

2

4π 2 d

16π 4 d

60. fДля этого решим уравнение относительно r : π

= 2

4 b r d

.

AL

Теперь подставим числа. Здесь нужно внимательно следить за соблюдением размерности и пользоваться только единицами МКС, так что d =

= 40 а. е. = 6 1012 метров:

r

(

)

−

2

12

π × 4 ×

16

= × ×

×

10

4 6 10

.

0,23 × 4 × 26

10

Посмотрим, сумеем ли мы обойтись без калькулятора. Величина под квадратным корнем приблизительно равна 13 10–42, квадратный корень из нее — около 3,6 10–21. Тогда r = 4 36 1024 3,6 10–21.

Чтобы вычислить это без калькулятора, вспомним, что 36 = 9 4, тогда

4 36 3,6 = 0,1 92 43 8 64 500.

Итак, мы, наконец, узнали, что r = 500 103 м = 500 км.

Таким образом, диаметр Орка — 1000 километров. Это солидный размер, почти половина диаметра самого Плутона.

Орк получил свое имя в честь этрусского бога подземного мира. Астрономы открыли и спутник, вращающийся вокруг Орка, — Вант (тоже имя из этрусской мифологии), диаметр которого примерно втрое меньше диаметра

Орка.

255

Решения

61. Воздействие планеты на материнскую звезду

61. аИмпульсы планеты и звезды равны и противонаправленны, поэтому получаем

M v = M v .

* *

p p

(Строго говоря, здесь должен стоять минус, который просто отражает, что планета и звезда движутся в противоположных направлениях, но нам не нужно сохранять минус в вычислениях для целей, поставленных в этой задаче). Нам задано найти скорость звезды

M p GM ∗

=

=

G

v

Mp

,

∗

M

r rM

∗

∗

что достаточно точно, если масса планеты гораздо меньше массы звезды

(на практике это правомерное приближение!).

61. bТеперь подставим числа. Сначала вычислим скорость Юпитера вокруг Солнца:

10

−

3 2

−

1

−

30

GM Солнце

2 / 3×10 м с кг ×2×10 кг v

=

=

=

Юпитер

5 а. е.

3

11

5× ×10 м

2

16

=

×10 (м/ с)2

8

=

9

=

× 4

4 / 3 10 м / с ≈ 13 км / с,

то есть чуть меньше чем половина скорости Земли, вращающейся вокруг

Солнца. Насколько велико смещение Солнца? Раз масса Юпитера очень близка к 1/1000 солнечной, из того, что мы вывели, следует, что Солнце движется со скоростью в 1/1000 скорости Юпитера, то есть 13 м/с. Это больше скорости самых быстроногих бегунов — 10 м/с — но ненамного.

61. сЗдесь нам нужно в каждом случае вычислить большую полуось планеты. Нам дано, что масса звезды равна массе Солнца, поэтому мы

256

Решения можем применить третий закон Кеплера в его простейшей форме, если выразим период в годах:

а (а. е.) = Р (годы)2/3.

Для HD 156836 это тривиально — период очень близок к 1 году, поэтому большая полуось равна 1 а. е. Для 51 Pegasi период очень короток —

4,2 суток равно 0,011 года, а если подставить это в третий закон Кеплера, получим большую полуось в 0,05 а. е. Планета вращается очень близко от материнской звезды.

Зная в обоих случаях большую полуось, мы можем применить выражение, выведенное в части а) этой задачи и связывающее скорость звезды с массой планеты. Перепишем его в виде rM ∗

M v

.

п = ∗

G

Для каждого случая мы вычислили радиусы орбиты r . И можем сразу написать формулу в массах Юпитера (нас просили дать ответ в массах Юпитера). Тогда, с учетом работы, проделанной в части b), запишем r