Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

1/2

⎛ L

⎞

звезды 1 d

= ⎜

⎟,

звезды 1

⎝ 4 b

π ⎠

1/2

⎛ L

⎞

звезды 2 d

= ⎜

⎟,

звезды 2

⎝ 4 b

π ⎠

208

Решения где «звезда 1» — это холодная звезда главной последовательности из части а), а «звезда 2» — красный гигант. Их яркость b одинакова. Опять же возьмем отношение двух выражений и получим:

1/2 d

⎛ L

⎞

звезды 2 звезды 2

= ⎜

⎟.

d

⎜ L

⎟

звезды 1 звезды 1

⎝

⎠

Подставим числа, где возьмем светимости пропорционально солнечной, и получим

1/2

4 d

⎛ 1,4×10 ⎞

= ⎜

⎟ ≈ (2×10)1/2 звезды 2

7

≈ 4000.

4 d

⎝ 6×10−

звезды 1

⎠

То есть расстояния до этих двух звезд равной яркости различаются в

4000 раз! До «звезды 1» 50 световых лет, значит, «звезда 2» находится в

4000 раз дальше, то есть в 200 000 световых годах — примерно в 60 килопарсеках. Такая звезда должна находиться во внешнем гало Млечного

Пути. Находить подобные звезды непросто: большинство красных звезд такой яркости на небе — это звезды главной последовательности, а не очень далекие красные гиганты. Хотя параллакс такого далекого красного гиганта невозможно измерить даже при помощи космического аппарата

«Гея», самого чувствительного телескопа, созданного для этой цели (см.

задачу 37), сам по себе факт, что параллакс очень мал, подскажет, что до звезды очень далеко, больше 20 килопарсек. А тогда, если учесть измеримую яркость звезды, мы сделаем вывод, что светимость у звезды огромна, так что это не может быть звезда главной последовательности, а значит, перед нами красный гигант.

39. Сравниваем звезды

39. аСоотношение между пиковой длиной волны и температурой поверхности —

2,9 мм

λ =

.

пика

T

209

Решения

Для температуры 3 104 К это дает 1 10–4 мм с точностью до одной значащей цифры. В одном миллиметре 1000 микрон, поэтому длина волны равна 0,1 микрона. Это 1000 ангстрем, а такие длины волн относятся к ультрафиолетовой части спектра.

39. bЗдесь мы понимаем, что светимости этих звезд заданы формулой светимости абсолютно черного тела:

L

= 4 R 2

T 4

,

О-звезды

О-звезды

О-звезды

L

= 4 R 2

T 4

.

красного гиганта красного гиганта красного гиганта

Чтобы подобраться к отношению радиусов звезд, вычислим отношение двух этих выражений. При этом многие величины сократятся, и останется

2

4

L

⎛ R

⎞ ⎛ T

⎞

красного гиганта красного гиганта красного гиганта

= ⎜

⎟ ⎜

⎟.

L

⎜ R

⎟ ⎜ T

⎟

О-звезды

⎝

О-звезды

⎠ ⎝ О-звезды ⎠

Если выразить отсюда отношение радиусов, получим

1/2

2

R

⎛ L

⎞

красного гиганта красного гиганта

⎛ T

⎞

О-звезды

= ⎜

⎟ ⎜

⎟.

R

⎜ L

⎟ ⎜ T

⎟

О-звезды

О-звезды красного гиганта

⎝

⎠ ⎝

⎠

Мы знаем отношение светимостей: оно равно 16. Отношение температур равно 30 000/3000 = 10. Тогда находим

R красногогиганта =(16)1/2 2

×10 = 400.

R О-звезды

39. сЯркость этих двух звезд связана с расстояниями до них (которые мы хотим узнать) и их светимостью (о которой мы кое-что знаем): L красногогиганта b

=

красного гиганта

2

4 d

π красногогиганта

L О-звезды b

=

О-звезды

2

4 d

π

.

О-звезды

210

Решения

Но нам дано, что b

= b

Тогда мы можем приравнять красного гиганта

О-звезды эти два выражения и выразить расстояние до красного гиганта: L красногогиганта

L О-звезды

=

.

2

2

4 d

π

4 d

π

красного гиганта

О-звезды

Немножко алгебры, и получим 1/2

⎛ L

⎞

красного гиганта d

= d

⎜

⎟ = 1000 световых лет× 16 =

красного гиганта

О-звезды ⎜ L

⎟

О-звезды

⎝

⎠

= 4000 световых лет.

40. Жаркие и сияющие

40. аСветимость сферического абсолютно черного тела с температурой поверхности Т и радиусом R пропорциональна R 2 T 4, как гласит закон

Стефана — Больцмана. Тогда отношение светимостей

L

⎛ R

⎞2 ⎛ T

⎞4

Солнца = ⎜ Солнца ⎟ ⎜ Солнца ⎟.

L

R

T

Юпитера

⎝ Юпитера ⎠ ⎝ Юпитера ⎠

Обратите внимание, что сначала мы вычисляем отношение радиусов, а потом возводим его в квадрат. Аналогичным образом мы сначала вычисляем отношение температур, а потом возводим его в четвертую степень. Это существенно упростит арифметику. Подставим числа и получим