Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

37. аРассмотрим длинный узкий треугольник с острым углом, равным 10 угловым микросекундам, и длиной d = 4000 км. Естественно, этот угол надо перевести в радианы. Малоугловая формула гласит, что противолежащая сторона имеет длину

205

Решения

3

3 м

6 микрон

5 s d

4 10 км 10

10

10−

= θ = ×

×

×

×

угловых секунд×

км м

1 радиан

×

= 200 микрон.

5

2×10 угловых секунд

200 микрон — это размер амебы. То есть 10 угловых микросекунд —

это угол, которому противолежит лос-анджелесская амёба, если смотреть на нее из Нью-Йорка.

37. bМалоугловая формула = s / d говорит, что параллакс обратно пропорционален расстоянию d . Определение парсека гласит, что звезда с параллаксом в 1 угловую секунду находится на расстоянии в 1 парсек. Поэтому расстояние до звезды с параллаксом в 50 угловых микросекунд = 5 10–5 угловых секунд попросту равно

1 парсек = 20 000парсек,

5

5×10−

или 20 килопарсек, что сопоставимо с протяженностью всего Млечного Пути. Вот одна из причин, почему астрономы так любят «Гею»: мы впервые в истории можем измерять расстояния почти до всех звезд

Млечного Пути.

38. Яркость, расстояние и светимость

38. аДля начала посмотрим, что здесь происходит с физической точки зрения. Нам известны радиус звезды R и ее температура Т , и мы знаем формулу, где светимость сферического абсолютно черного тела определяется двумя этими величинами:

L = 4 R 2 T 4.

Так что, как рассчитать светимость, мы знаем. Кроме того, нам известна измеренная яркость b , а закон обратных квадратов связывает светимость и расстояние с яркостью, поэтому мы сможем определить и расстояние.

206

Решения

Для этой задачи вам не нужно знать численное значение (постоянной

Стефана — Больцмана), которая входит в формулу для абсолютно черного тела. Задумаемся об этом, записав формулу для абсолютно черного тела дважды — один раз для звезды (*), второй для Солнца: L = 4 R 2 T 4.

*

*

*

L

= 4 R

2 T

4.

Солнца

Солнца

Солнца

Нам понадобится отношение этих двух формул; как мы сейчас убедимся, это заметно облегчит нам вычисления: 2

4

L

⎛

⎞ ⎛

⎞

∗

R ∗

Е ∗

=

.

L

⎜ R ⎟ ⎜ T ⎟

Солнца

Солнца

Солнца

⎝

⎠ ⎝

⎠

Как видим, сократилась! Более того, подсчитать отношения радиусов и температур очень просто, поэтому отношение светимостей получается

2

4

L ∗

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞

2

−

1

4

= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 10 × = 6×10−.

L

⎝ 10 ⎠ ⎝ 2 ⎠

16

Солнца

Эта звезда близка к нижней части главной последовательности; светимость таких звезд значительно меньше, чем у Солнца. В абсолютных величинах она равна

L = 6 10–4 L

= 6 10–4 4 1033 эрг/с = 2,4 1030 эрг/с.

*

Солнца

Каково расстояние d до этой звезды? Закон обратных квадратов гласит

L

b =

,

2

4 d

π

или

1/2

⎛ L

d

⎞

= ⎜

⎟.

⎝ 4 b

π ⎠

Подставим числа:

1/2

30

⎛

2,4×10 эрг / с

⎞

d = ⎜

⎟.

11

−

2

⎝ 4π×6×10 эрг / с / см ⎠

207

Решения

6 4 = 24, 10/ = 3, поэтому арифметика выглядит не так уж и страшно: d = (3 1029–1 + 11 см2)1/2 = (30 1038 см2) 1/2 5 1019 см.

Вспомним, что в световом году около 1018 см, и получим расстояние около 50 световых лет. По звездным меркам это рукой подать.

Кроме того, мы знаем, что в одном парсеке 3,26 световых года, поэтому вычисленное расстояние — это около 15 парсек. Параллакс в угловых секундах — это обратная величина расстоянию в парсеках, поэтому параллакс этой звезды примерно равен 0,06 угловой секунды, или 60 угловым миллисекундам.

38. bРасстояние зависит от светимости и яркости. Какова светимость звезды? Точно такие же рассуждения, как в части а), дадут светимость относительно Солнца:

2

4

4

L

⎛

⎞ ⎛

⎞

∗

R ∗

T ∗

()2 ⎛ 4500

200

⎞

=

=

×

⎜

⎟ ⎜

⎟

⎜

⎟ ≈ 14000.

L

R

T

⎝ 5800

Солнца

Солнца

Солнца

⎠

⎝

⎠ ⎝

⎠

Мы уже усвоили, что 1 а. е. примерно в 200 раз больше радиуса

Солнца (и в этом случае все-таки взяли калькулятор). Мы можем вычислить светимость звезды и, следовательно, ее яркость точно так же, как и раньше, но пойдем немного другим путем: проделаем немного больше алгебраической работы, чтобы избежать лишней арифметики. Суть этих приемов — посмотреть на уже проделанную работу и постараться воспользоваться результатами, чтобы по мере возможности не повторять вычислений. Вспомним, что яркость у этих звезд одинаковая. Поэтому мы можем записать формулы, связывающие расстояние, светимость и яркость каждой звезды: