Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

В частности, Солнце и вообще звезды состоят из 74 % водорода и 24 %

гелия (по массе), так что на остальные элементы из таблицы Менделеева остается только 2 %.

199

Решения

32. Далекие сверхновые

Соотношение между яркостью b , светимостью L и расстоянием d выглядит так:

L

b =

.

2

4 d

π

Запишем это выражение для Альфы Центавра и для сверхновой

1987 года и возьмем отношение этих величин:

2 b

L

⎛ d

−

⎞

сверхновой сверхновой сверхновой

=

×⎜

⎟.

b

L α

d

Сеп

Сеп

⎝ αСеп ⎠

Отношение яркостей равно 1/10, отношение расстояний равно 150 000/4

4 104 с точностью до одной значащей цифры. Выразив отсюда отношение светимостей, получим

L

= (4×10)2 сверхновой

4

1

8

× = 1,6×10.

L α

10

Сеп

Пик светимости сверхновой превосходил светимость Альфы Центавра в целых 160 миллионов раз!

33. Солнечные батареи на космических аппаратах

33. аЗдесь мы прямо применим формулу светимости абсолютно черного тела, согласно которой светимость сферического абсолютно черного тела температуры T и радиусом R равна

L = 4 R 2 T 4.

Здесь = 5,6 10–8 Дж/с/м2/К4 — это постоянная Стефана — Больцмана. Так что задача сводится к подстановке чисел, что мы и проделаем, причем постараемся обойтись без калькулятора:

L = 4 3 (7 108 м)2 5,6 10–8 Дж/с/м2/К4 (6000 К)4

12 50 5,6 1300 1016–8 + 12 Дж/с 4 1026 ватт

200

Решения с точностью до одной значащей цифры. Это очень близко к точному значению 3,8 1026 ватт.

33. bЭто упражнение на применение закона обратных квадратов. Яркость задана через светимость, поделенную на 4 d 2, где d = 1,5 а. е — это расстояние от Марса до Солнца:

26

L

4×10 Вт

2 b =

=

= 600 Вт / м.

2

4 d

π

12×(1,5×1,5×10 м)2

11

33. сВычисленная мощность падает на каждый квадратный метр солнечных батарей. Сначала нам нужно вычислить количество квадратных метров в 100 квадратных футах. Один фут = 1/3 метра, поэтому 1 фут2 = 1/9 метра2.

Тогда 100 квадратных футов = 10 квадратных метров с точностью до одной значащей цифры. Таким образом, совокупная мощность, падающая на солнечные батареи, в 10 раз превышает вычисленную в части b), то есть составляет

6600 ватт. Однако передатчику доступно лишь 20 %, или 1/5, то есть 1300 ватт.

33. dЗакон обратных квадратов учит нас, что мощность, доступная такому же космическому аппарату на большем расстоянии, снижается пропорционально обратному квадрату отношения расстояний. То есть, если проделать все вычисления, которые мы уже выполнили в частях b) и с), и подставить вместо расстояния до Марса расстояние до Сатурна, все останется по-прежнему, кроме самого расстояния, и результаты окажутся пропорциональными обратному квадрату расстояния. Тогда получаем, что доступная космическому аппарату мощность составляет

2

⎛ расстояние до Марса мощность на Сатурне мощность на Марсе

⎞

=

×

=

⎜ расстояние доСатурна ⎟

⎝

⎠

2

⎛ 1,5 а. е.

1300 Вт

⎞

=

⎜ 9,6 а.е.⎟.

⎝

⎠

Отношение расстояний примерно равно 1/6,5; его квадрат примерно равен 1/40. Поэтому доступная мощность на расстоянии Сатурна составит

201

Решения около 30 ватт, то есть 1/3 обычной лампы накаливания. Маловато для космического аппарата! Вот почему миссии во внешнюю Солнечную систему обычно рассчитывают на питание от радиоактивного распада изотопа плутония, а не от солнечных батарей.

34. Свети!

Светимость абсолютно черного тела составляет

F = Т 4 A,

где — это постоянная Стефана — Больцмана, а А — площадь поверхности тела. Сначала определим температуру человека. Нам известно, что вода замерзает при 273 К, а температура тела человека выше этой примерно на 37 К. Нам нужна примерная оценка, так что величину Т = 300 К можно считать достаточно близкой. Для оценки площади поверхности будем считать, что человек и в высоту, и в ширину примерно метр. Разумеется, большинство из нас больше метра в высоту и меньше метра в ширину, но нам опять же нужна примерная оценка, а эти величины, несомненно, точны с точностью до коэффициента около 2. Эту величину мы умножим на 2, поскольку у человека есть передняя и задняя сторона, и излучают обе. Тогда

Т = 300 К,

площадь поверхности = 2 м2.

Отсюда светимость = Т 4 площадь поверхности =

= 6 10–8 Вт м–2/К–4 (300 К)4 900 Вт,

что эквивалентно примерно девяти обычным лампочкам.