Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

28. bЕсли мы ускорим астероид на 2 см/с, он окажется в той точке, где может столкнуться с Землей через 20 лет, несколько раньше, чем при сохранении первоначальной траектории. Если он окажется там достаточно рано, Земля не успеет дойти до этой точки, поэтому астероид промахнется мимо Земли и ничего не случится. Зададим простой вопрос: какое расстояние даст прибавка скорости v = 2 см/с за время t = 20 лет? Если это расстояние больше радиуса Земли, мы спасены. Давайте вычислим его с точностью до одной значащей цифры:

194

Решения

7

3×10 с 1 км d = vt = 2 см / с×20 лет×

×

≈ 10000 км.

5

1 год

10 см

Радиус Земли равен 6400 км, поэтому, если первоначальная траектория астероида была направлена строго на Землю, то астероид пролетит мимо нас, если мы подпихнем его ракетой. Но он пролетит до ужаса близко, и если бы мы руководили этой миссией, то просили бы изменить его скорость существеннее, чем на 2 см/с.

Если бы мы могли за 20 лет сдвинуть астероид на 10 000 километров относительно его невозмущенной орбиты, это было бы впечатляющее достижение. Если бы нам и в самом деле грозило подобное столкновение, мы проделали бы более сложные расчеты и задались бы вопросом, насколько эллиптическая орбита вокруг Солнца, по которой двигается астероид, изменится из-за соударения с ракетой, однако расчеты, которые вы только что проделали, вполне отражают суть проблемы.

29. Комета Галлея и пределы применимости третьего закона

Кеплера

29. аТретий закон Кеплера гласит, что период такой орбиты вокруг

Солнца составляет 17,83/2 = 75,1 лет. Это близко к наблюдаемому периоду в 76,1 лет, но не тождественно ему. Аналогичным образом, если отталкиваться от периода, третий закон Кеплера даст большую полуось в

75,12/3 = 18,0 а. е. — опять же близко к наблюдаемой величине в 17,8 а. е., но не тождественно ей. Есть и другой способ это вычислить: Р 2 = 5790 лет2, а а 3 = 5640 а. е.3 — и эти числа не равны.

29. bТретий закон Кеплера прямо следует из законов движения и всемирного тяготения Ньютона в предположении, что единственная значимая гравитационная сила — это притяжение Солнца. Но на комету Галлея действуют дополнительные силы двух типов. Когда она приближается к Солнцу, из нее вырываются потоки газа и пыли. Третий закон Ньютона учит нас, 195

Решения что каждое действие вызывает противодействие, поэтому комета в ответ на извержение этих потоков ощущает некоторую силу. Кроме того, орбита кометы Галлея подвергается возмущениям за счет гравитации планет. Хотя возмущающее воздействие планет можно рассчитать достаточно аккуратно, силы реакции, вызванные испусканием газа из ядра кометы, поддаются оценке в гораздо меньшей степени, поэтому подробно рассчитать орбиту кометы Галлея при приближении к Солнцу становится трудно.

30. Сила действия равна силе противодействия

30. аПериод орбиты можно рассчитать прямо из третьего закона Кеплера. В частности, мы говорим об орбитах вокруг Солнца, поэтому можем взять закон Кеплера в его простейшей форме:

Р 2 (в годах) = а 3 (в а. е.).

Нам дано, что а = 5,2 а. е.; 5,2 в кубе равно 140 (мы посчитали на калькуляторе), а квадратный корень из этого числа примерно равен 12. Таким образом, период составляет 12 лет.

30. bЮпитер двигается по кругу радиусом 5,2 а. е., и на полный круг у него уходит 12 лет. Вычислить скорость просто:

11

2 r

π

2π×5,2×1,5×10 м v =

≈

= 13000 м / с.

7

P

12 лет×π×10 с / год

Это немногим меньше, чем половина скорости движения Земли вокруг

Солнца. Неудивительно, ведь Юпитер находится дальше от Солнца, поэтому гравитационное воздействие на него слабее, а значит, он медленнее двигается.

Можно решить эту задачу и другим способом. Мы знаем, что Земля вращается вокруг Солнца со скоростью 30 км/с = 30 000 м/с. Более того, мы знаем, что скорость равна пройденному расстоянию (2 r ), деленному на период Р . Однако Кеплер учит нас, что период пропорционален r 3/2, поэтому скорость пропорциональна r / r 3/2 = r –1/2. Следовательно, скорость Юпитера на

196

Решения орбите меньше, чем скорость Земли на орбите, с коэффициентом 5,2–1/2 =

= 0,44, то есть равна 13 000 м/с = 13 км/с.

30. сЕсли центр масс системы Солнце-Юпитер неподвижен, то если

Юпитер проходит определенное расстояние за определенное время, Солнце должно ответить на это противоположным смещением, то есть величины