Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

26. сВ а. е. и годах получается совсем просто! Период вращения Земли вокруг Солнца равен 1 году, а радиус орбиты — 1 а. е., поэтому получаем

С = 12/13 = 1 год2/а. е.3.

26. dМы можем вычислить отношение коэффициентов С в любой системе единиц, ответ будет один и тот же (как и должно быть: отношение не имеет размерности). Проделаем это в единицах лет и а. е., поскольку арифметика будет очень простой:

3

2

3

C Юпитера 1047

, ×10 лет / а. е.

=

= 1047.

2

3

C

1год / а. е.

Солнца

Можем также вычислить отношение масс Солнца и Юпитера: 30

M Солнца 1,989×10 кг

=

= 1047.

27

M

1,898×10 кг

Юпитера

Одно и то же число! Почему? Потому что это следует из ньютоновской формы третьего закона Кеплера:

2 3

2

4π a

P =

.

GM

Видно, что то, что мы называли коэффициентом С , на самом деле

42/( GM ), где М — масса центрального объекта, вокруг которого мы вращаемся по орбите. Разумеется, для спутников Юпитера и для Земли, вращающейся по орбите, центральная масса будет разной. Значение С обратно пропорционально массе этого центрального тела, поэтому отношение коэффициентов С для орбит вокруг Юпитера и Солнца должно быть таким же, как отношение масс Солнца и Юпитера, что мы и обнаружили.

192

Решения

27. Нептун и Плутон

27. аЭто простое приложение третьего закона Кеплера для движения по орбите вокруг Солнца: Р (в годах) = а 3/2 (в а. е.) Для а = 30,066 а. е. это даст (да, мы посчитали на калькуляторе) 164,86 лет. Мы дали ответ с точностью до пяти значащих цифр, такой же, с какой нам задали значение большой полуоси.

27. bТе же расчеты для Плутона дают 248,1 год с точностью до четырех значащих цифр.

27. сОтношение периодов обращения по орбите Плутона и Нептуна равно 248,1/164,86 = 1,505 с точностью до четырех значащих цифр. Это достаточно близко (с разницей меньше 0,3 %) к соотношению 3:2. То есть за каждые два оборота Плутона вокруг Солнца Нептун совершает три оборота.

Такие резонансы в Солнечной системе не редкость. Оказывается, многие бреши в кольцах Сатурна вызваны резонансами между разными спутниками

Сатурна, а более сложные резонансы объясняют некоторые поразительно тонкие узоры в его кольцах. См., к примеру, снимки с космического зонда

«Кассини» (https://solarsystem.nasa.gov/missions/cassini/overview/).

27. dЭксцентриситет орбиты очень близок к нулю, поэтому не стоит удивляться, что афелий а (1 + е ) = 30,4 а. е. очень близок к длине большой полуоси. Здесь подобрать нужное число значащих цифр — дело довольно сложное. Можно решить, что эксцентриситет известен лишь до одной значащей цифры, поэтому и афелий нужно найти с той же точностью. На самом же деле главное в этих вычислениях — величина 1 + е , а она дана с точностью до трех значащих цифр.

27. еПеригелий равен а (1 — е ) = 39,48 (1–0,250) а. е. = 29,61 а. е., а афелий равен а (1 + е ) = 49,35 а. е. Перигелий Плутона меньше афелия

Нептуна, поэтому и в самом деле Плутон иногда оказывается несколько ближе к Солнцу, чем Нептун. Он лишь ненамного заходит внутрь орбиты

Нептуна и в последний раз побывал там с 1979 по 1999 год.

193

Решения

28. Роковые астероиды?

28. аТретий закон Кеплера дает нам формулу для большой полуоси: а (а. е.) = Р 2/3 (годы).

Подставим числа и получим с точностью до трех значащих цифр, что а = 1,65 а. е.

Однако орбита у астероида не круглая. Перигелий задается формулой а (1 — е ), а афелий — а (1 + е ). Поскольку е = 0,5, эти множители соответственно равны 0,5 и 1,5, поэтому мы получаем перигелий 0,83 а. е. и афелий

2,5 а. е. Выходит, что орбита астероида пересекает орбиту Земли, так что да, он угрожающий.

Не все астероиды вращаются в той же самой плоскости, что и Земля. К тому же, чтобы врезаться в Землю, они должны попасть в точку на

1 а. е. строго одновременно с Землей. Поэтому крайне маловероятно, чтобы астероид и в самом деле врезался в Землю, даже такой, как 2002 CY9, чья орбита пересекает 1 а. е. Однако на орбиту астероида может повлиять гравитационное притяжение других тел, в том числе и самой Земли, и из-за этого его орбита со временем слегка изменится (речь идет о десятках лет), и вероятность, что астероид столкнется с Землей, повысится. Рассчитать эти дополнительные возмущения трудно, поэтому астрономы не доверяют даже собственным количественным прогнозам орбит угрожающих астероидов больше чем на сто лет вперед.