Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

2/3 а

⎛ 24 часа

ГЕО

⎞

2/3

=

= 16.

6400 км ⎜ 90 минут ⎟

⎝

⎠

185

Решения

Здесь мы вынуждены взять калькулятор:

а = 6,3 6400 км = 40 000 км

ГЕО

с точностью до одной значащей цифры.

24. Центростремительное ускорение и кинетическая энергия на орбите Земли

24. аРешим задачу обоими способами. Мы знаем, что период связан с орбитальной скоростью формулой Р = 2 r / v . Если подставить это выражение в третий закон Кеплера, получим

2

2

3

4π GM ⊕ r r =

.

2 2

4π v

Сократив общий множитель 42 и решив уравнение для v , получим

GM

v

⊕

=

.

r

Теперь пойдем альтернативным путем — начнем с законов Ньютона.

Сила, действующая на спутник массы m , задается законом всемирного тяготения Ньютона: GM m / r 2 . Она равна произведению массы спутника на

ускорение, а последнее задается обычной формулой для кругового движения v 2/ r . Приравниваем оба выражения и получаем

2 v

GM ⊕ m m =

.

2 r r

Сокращаем общий множитель m и еще раз решим уравнение для v ; тогда

GM

v

⊕

=

.

r

24. bМы можем воспользоваться только что выведенной формулой для скорости. Сложность только в одном: как вычислить нужный радиус.

Высота спутника над земной поверхностью равна 850 км, но здесь считает-

186

Решения ся расстояние от центра Земли, до которого еще 6400 км. Так, мы задаем r = (6400 + 850) км 103 м/км = 7 106 м с точностью до одной значащей цифры. Подставим числа и получим

2

10

−

3 2

−

1

−

24

×10 м с кг ×6×10 кг

2

GM ⊕

3

1

8 м v =

=

≈

×10

≈ 7000 м / с.

6

2 r

7×10 м

2 с

Спутник двигался со скоростью 7 км/с — очень быстро!

Каков же период его обращения? Можно было бы снова обратиться к третьему закону Кеплера, но есть и более прямой путь проделать эти вычисления, если вспомнить, что период — это расстояние, которое спутник проходит по орбите за один оборот, поделенное на его скорость: 6

2 r

π

2π×7×10 м

P =

=

≈ 6000 с,

3 v

7×10 м / с то есть около 100 минут. Спутник на низкой околоземной орбите совершает один оборот примерно за полтора часа (точное значение зависит от конкретной высоты над поверхностью Земли).

24. сЭта задача проста: масса — это объем, умноженный на плотность.

Надо лишь тщательно следить за размерностью:

1 см г

1 кг

2 m V

10 см 10 см 2 мм

2,7

5 10−

= ρ =

×

×

×

×

×

≈ ×

кг.

3

3

10 мм см 10 г

То есть около 50 граммов, или 2 унций, с точностью до одной значащей цифры (учитывая приблизительно заданные габариты, более точный ответ здесь неуместен).

24. dКинетическая энергия тела массы m , движущегося со скоростью v , равна

1 2

KE = mv . Массу мы вычислили в части с), а скорость — в части b), 2 так что теперь все просто:

КЕ = 0,5 5 10–2 кг (7 103 м/с)2 106 Дж

187

Решения с точностью до одной значащей цифры. Следующая задача наглядно покажет, что означает такое количество энергии.

24. еВ условиях задачи содержится подсказка: нам советуют вычислить отношение энергий. Когда вычисляешь отношение, некоторые величины часто сокращаются, что убережет нас от лишних хлопот с арифметикой.

Кинетическая энергия тела массы m , движущегося со скоростью v , равна

1 2 mv (это энергия столкновения), а взрывная энергия той же массы ТНТ

2равна mp , где p = 4,2 106 джоулей на килограмм — это взрывная энергия на килограмм. Отношение этих величин выглядит вот так: 1 2 mv

2

2

1 v

=

.

mp

2 p

Когда мы подставим в нее числа (взяв v из части b), внимательно следя за размерностью, получим

1

(7×10 м/ с)2

3

7

0,5×5×10

=

≈ 6.

6

2

2

6

2 4,2×10 кг м / с / кг

4,2×10

Во-первых, обратите внимание, что масса сократилась — ответ не зависит от результата части с). Во-вторых, обратите внимание, что мы сделали с единицами: мы подставили определение джоуля, и все единицы сократились (как и должно быть, когда получаешь осмысленное отношение). Наконец, полюбуйтесь ответом: столкновение с куском космического мусора высвобождает примерно в 6 раз больше энергии, чем эквивалентное количество ТНТ! Неудивительно, что проблема космического мусора стоит так остро!

Впрочем, на самом деле все не так плохо, как выходит по нашим расчетам, просто потому, что если находишься на орбите, ты сам движешься со скоростью 7 км/с, а для энергии столкновения важна относительная скорость вас и обломка. Если вы движетесь сонаправленно, столкновение пройдет значительно мягче, чем вы только что рассчитали.