Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

Обозначим расстояние от Земли до Луны как D , а расстояние от Земли до спутника по этой линии как r . Сначала постараемся как можно дольше

182

Решения обходиться алгебраическими приемами, а числа подставим только в самом конце: алгебра обычно проще арифметики! Мы ищем расстояние r , на котором силы притяжения Земли и Луны уравновешиваются:

GmM

GmM

Земли

Луны

F =

=

,

2 r

( D − r )2 где m — масса спутника. Это можно слегка упростить, если сократить общие множители и немного преобразовать:

2

⎛ D − r ⎞

M Луны

⎜

⎟ =

.

⎝ r ⎠

M Земли

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Справа у нас получится квадратный корень отношения масс Луны и Земли. Масса Луны составляет около 1 % массы Земли, квадратный корень из этого отношения равен 0,1.

Тогда получаем

D − r = 0,1 r

D − r = 0,1 r

1,1 r = D

D

r =

≈ 0,9.

D

1,1

Таким образом, примерно на 90 % пути от Земли до Луны (на расстоянии около 340 000 километров от Земли) гравитационное воздействие обоих небесных тел уравновешивается.

Задумайтесь вот над чем: когда извлекаешь квадратный корень, всегда есть два решения — положительное (которым мы и воспользовались) и отрицательное. Каков же физический смысл отрицательного решения?

Давайте остановимся на этом подробнее. Если проделать все вышеописанные вычисления, но добавить минус, получим

183

Решения

— ( D — r ) = 0,1 r

D

r =

≈ 1,1.

D

0,9

В этом случае космический аппарат находится от Земли дальше, чем

Луна. Существует точка по ту сторону Луны, на которой гравитационное воздействие Земли и Луны равны, но там эти векторы сонаправлены, а не противоположны.

Когда астронавты с «Аполлона» отправились на Луну, много и ошибочно говорилось, что когда они миновали точку, где притяжение Луны сильнее притяжения Земли, они «вырвались из земной гравитации». Это, разумеется, не так: сколько ни удаляйся от Земли, сила ее тяготения GmM

/ r 2 будет

Земли ощущаться всегда.

23. Геосинхронные орбиты

Вот еще одно применение третьего закона Кеплера: у нас есть период

(24 часа) и мы хотим найти радиус орбиты. Однако обратите внимание, что теперь это не орбита вокруг Солнца, поэтому третий закон Кеплера в изначальной форме нам не годится. Нам нужно применить ньютоновскую форму этого закона:

2

3

GM P

a

⊗

=

.

2

4π

В этом расчете следует придерживаться единиц МКС. M = 6,4 1024 кг —

это масса Земли, G = 2/3 10–10 м3 с–2 кг–1 — это постоянная Ньютона, а период — 1 сутки, которые мы примем приближенно равными 90 000 секунд. Тогда

2

10

−

3 2

−

1

−

24

9 2

×10 м с кг ×6×10 кг×8×10 с

3

3 a =

,

40 где мы приняли 2 10. Подсчитав все это, получим а 3 = 8 1022 м3.

184

Решения

Пока что мы обходились без калькулятора. Но как извлечь кубический корень без калькулятора? Вообще-то мы знаем, что 8 1022 = 80 1021, а кубический корень из 1021 равен 107. Кроме того, мы знаем, что 43 = 64, а 53 = 125, так что кубический корень из 80 — это чуточку больше 4. Поэтому с точностью до одной значащей цифры получаем а = 4 107 м = 40 000 км.

И все? Нет: нас просили указать расстояние от поверхности Земли, а полученная величина — это расстояние от центра Земли. Поэтому нам нужно вычесть из 40 000 радиус Земли, равный 6400 км, и останется примерно 34 000 км. А еще нас просили выразить это число в радиусах Земли: если поделить его на 6400 км, получится чуть больше 5 радиусов Земли.

Если мы повторим вычисления с точными значениями массы Земли, G

и (и с калькулятором), то получим расстояние в 35 900 км от поверхности

Земли, или 5,63 радиусов Земли.

Есть и другой способ решения этой задачи. Для этого вспомним, что третий закон Кеплера можно записать в виде а 3 = Р 2/ М ,

где а выражается в а. е., Р — в годах, а М — в массах Солнца. Преимущество этой формулы в том, что можно не искать значения G и, однако здесь придется проделать дополнительную работу по переводу всех наших чисел в эти единицы (которые здесь не очень удобны).

Есть и третий способ решения — наш любимый. Мы знаем, что спутники на низких околоземных орбитах имеют период обращения около 90 минут.

Радиус их орбиты — практически равен радиусу Земли, то есть составляет около 6400 километров. Третий закон Кеплера гласит, что для орбит вокруг общего небесного тела а ן Р 2/3, то есть