Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

Решения что внешние планеты находятся относительно Земли по другую сторону

Солнца, и в порядке увеличения расстояния до Земли у нас получается такая последовательность: Луна, Венера, Меркурий, Солнце, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран и Нептун.

Гравитационное воздействие каждого небесного тела на книгу равно

GM

M

планеты книги

F

=

,

планеты

2 r где r — расстояние от книги до соответствующей планеты. Сила, действующая на книгу со стороны Солнца, рассчитывается по той же формуле (естественно, в нее нужно подставить массу Солнца и расстояние до него). Тогда отношение силы, действующей на книгу со стороны Солнца, и силы со стороны любой планеты равно

2

F

M

⎛ 1 а.е.

планеты планеты

⎞

=

.

F

M

⎜ r

⎟

Солнца

Солнца ⎝ планеты ⎠

Здесь r также обозначает расстояние от книги (то есть от Земли: до планет так далеко, что в рамках этих расчетов мы имеем право приближенно считать Землю бесконечно маленькой) до соответствующей планеты.

В таблице ниже мы приводим это отношение для каждой из планет и для

Луны, опираясь на массы планет из таблицы 9.1 «Большого космического путешествия».

Планета r (а. е.)

М

/М

F

/F

планеты

Солнца планеты

Солнца

Луна

0,00252

3,7 10–8

5,9 10–3

Венера

0,28

2,7 10–6

3,4 10–5

Меркурий

0,61

1,7 10–7

4,6 10–7

Марс

2,52

3,3 10–7

5,2 10–8

Юпитер

6,2

1,0 10–3

2,6 10–5

180

Решения

Планета r (а. е.)

М

/М

F

/F

планеты

Солнца планеты

Солнца

Сатурн

11

2,9 10–4

2,4 10–6

Уран

20

4,4 10–5

1,1 10–7

Нептун

31

5,1 10–5

5,3 10–8

Планеты и Луна находятся на одной линии, поэтому их гравитация просто складывается. Мы узнали, что отношение общей силы, которая действует на книгу со стороны этих планет, к силе тяготения Солнца составляет

6,0 10–3, что очень мало (самый большой вклад в эту величину вносит Луна, поскольку она ближе всех). Неудивительно: движением тел в Солнечной системе в основном управляет Солнце.

Таким образом, Луна и планеты привносят совсем немного в силу, действующую на книгу. Подобным же образом силы, с которыми планеты действуют друг на друга, малы по сравнению с силой, с которой действует на каждую из них Солнце. Тем не менее эти силы ненулевые и оказывают измеримое воздействие на орбиты планет. Их нужно учитывать, если хочешь подробно разобраться, как устроены эти орбиты. Именно из-за воздействия дополнительных сил орбиты планет не представляют собой идеальные эллипсы. Сегодня благодаря хитроумным компьютерным программам произведены вычисления, позволяющие уточнить форму орбит в мельчайших деталях.

21. По баллистической траектории

21. аТут все просто: спутник вращается по окружности радиусом

400 + 6400 = 6800 км вокруг центра Земли. Длина орбиты равна этой величине, умноженной на 2, и это расстояние спутник проходит за 90 минут, то есть 5400 секунд. Таким образом, скорость спутника составляет расстояние 2π×6,800 км км скорость =

=

≈ 8.

время

5,400 с с

181

Решения

(Здесь мы для арифметических расчетов воспользовались калькулятором). Если мы хотим дать ответ в километрах в час, можно просто умножить полученный результат на 3600 секунд в часе, и мы получим км с км

8 ×3,600

≈ 30 000

.

с час час

21. bДля этого проще всего записать, как соотносятся друг с другом орбитальная скорость v , масса центрального гравитирующего объекта М

(в данном случае — Земли) и радиус орбиты r : 2

GM

v =

.

r

Если мы решим это уравнение относительно М (что от нас и требуется), получим

2 v r

M =

.

G

Теперь осталось только подставить числа, внимательно следя за размерностью (переведем все в систему единиц МКС). Получим: (8×10 м/ с)2

3

6

×6,8×10 м

M

=

.

Земли

11

−

3

2

6,67×10 м / кг / с

Обратите внимание, какая странная размерность у G , однако конечный результат мы, как и полагается, получим в килограммах. Если мы примем приближение 6,8/6,67 = 1, получим

M

= 6,4 1024 кг,

Земли что составит около 6 1021 тонн.

22. Как преодолетьиз земную гравитацию?