Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

Земли, Земля вращается вокруг Солнца, заключил Аристарх почти за две тысячи лет до Коперника.

17. Расстояние до Марса

Это вопрос о параллаксе. Рассмотрим длинный и узкий треугольник с вершиной на Марсе, внутренним углом = 2 угловые секунды и основанием s = 1000 километров. Мы хотим определить расстояние d ; малоугловая формула говорит нам, что s d =,

α

где нужно выразить в радианах. В радиане 200 000 угловых секунд, так что этот угол составляет 10–5 радиана. Тогда расстояние оказывается равно

174

Решения

1,000 км

8 d =

= 10 км.

5

10−

Это немногим меньше 1 а. е. Заметьте, что расстояние между Марсом и Землей меняется по мере движения этих планет по своим орбитам. Самое близкое расстояние, на которое они подходят друг к другу, составляет около 0,5 а. е. Это происходит, когда Марс находится в оппозиции , то есть когда Земля располагается прямо между Марсом и Солнцем и поэтому при наблюдении с Земли Марс оказывается в противоположной от Солнца точке небесной сферы.

18. Расстояние до Луны

Рассмотрим треугольник, в вершине которого находится Луна, а две длинные стороны идут к вам и вашему приятелю. Луна находится прямо над головой, так что линия между вами с приятелем перпендикулярна высоте этого треугольника. Расстояние до Луны составляет 400 000 километров, поэтому малоугловая формула дает угол в радианах

200 км

θ =

.

400,000 км

Прежде чем все делить и умножать, давайте сразу переведем радианы в угловые секунды, для чего домножим выражение на количество угловых секунд в радиане, которое равно 200 000:

200 угловых секунд 200

θ

=

×200,00

=

угловых секунд = 100.′′

400,000 радиан

2

Результаты измерения различаются на 100 угловых секунд.

Кстати, вам нужно сверить часы, чтобы измерить положение Луны строго одновременно. Луна движется по орбите вокруг Земли, поэтому ее положение на фоне звезд постоянно меняется. Нельзя допускать, чтобы этот эффект снизил точность измерения параллакса!

175

Решения

19. Массы и плотности в Солнечной системе

19. аСогласно малоугловой формуле, угол, противолежащий объекту в небе, выраженный в радианах, составляет размер этого объекта, поделенный на расстояние до нас. Размер объекта — это его диаметр, а нам нужен радиус, поэтому радиус Солнца противолежит углу, равному 0,25°.

Тогда малоугловая формула говорит, что радиус Солнца — это расстояние, умноженное на этот угол (в радианах):

8

1 радиан

R

= d ×θ ≈ 1,5×10 км×0,25°×

=

Солнца

60°

7

2,5×10 км 5

6

5

=

= ×10 км ≈ 6,3×10 км.

40

8

Здесь мы применили приблизительный перевод из радиан в градусы.

Чтобы вычислить плотность Солнца, нужно разделить его массу на его объем. Масса Солнца М

= 3 105 М

, а объем равен объему сферы

Солнца

Земли радиусом R

Тогда его плотность равна

Солнца

5

24

M Солнца

3×10 ×6×10 кг

ρ

=

≈

≈

Солнца

4π 3

R

4× 6,3×10 км×10 м / км

Солнца

(

)3

5

3

3

30

2×10 кг

3 кг

≈

= 2×10

= 2ρ.

24 3

3 воды

4×250×10 м м

Плотность Солнца примерно вдвое больше плотности воды. Примечание: точный ответ ближе к 1,4 плотности воды; самая большая погрешность объясняется слишком вольным приближением при оценке углового размера

Солнца — более точная величина составляет 0,55°.

19. bМасса Солнечной системы состоит в основном из массы Солнца, о чем мы говорим в части d). Чтобы вычислить плотность Солнечной системы, нам нужно найти объем сферы радиусом 30 а. е.

176

Решения

30

M Солнца

2×10 кг

ρ

≈

≈

≈

Солнечной системы

4π 3

R

4× 30×1,5×10 км×10 м / км

Нептуна

(

)3

8

3

3

30

2×10 кг

9

− кг

1

− 2

≈

= 5×10

≈ 5×10 ρ.

36 3

3 воды

4×90×10 м м

19. сКометы почти не добавляют массы к общей массе Солнечной системы. Поэтому, по аналогии с частью b), мы получаем среднюю плотность облака Оорта, разделив массу Солнца на объем сферы радиусом

1 световой год:

30

30

M Солнца

2 × 10 кг

2 ×10 кг

ρ ≈

≈

≈

=

3

48 3

4π 3

16

⎛

⎞

4 × 10 м

R

10

Оорта

4 × 1 св. год

3

×

⎜

1 св. год⎟

⎝

⎠

19

−

кг

22

5 10

5 10−

= ×

≈ ×

ρ.

3 воды м

Какая низкая плотность!

19. dСамое массивное тело в Солнечной системе после Солнца —

Юпитер, чья масса составляет всего 1/1000 массы Солнца. Сумма масс всех остальных планет составляет меньше 1,5 масс Юпитера (всего 447 масс