Адольф Френкель - Жизнь Георга Кантора

С работой [11] тесно связана, и в некотором смысле противостоит ей, работа [12], в которой предпринята попытка выяснить значение непрерывности для понятия размерности; идея эта, по существу, возникла из переписки с Дедекиндом. Как известно, теорема об инвариантности размерности, о которой идет речь в этом (недостаточном) доказательстве, была строго обоснована лишь Л. Э. И. Брауэром много десятилетий спустя.

Начало восьмидесятых годов было временем интенсивнейшего творчества Кантора, могучего, переливающегося через все видимые границы развертывания его гениальных идей; но тогда же произошел тяжелый кризис в его жизни, не покинувший его до конца.

Работа [13], опубликованная в шести частях в 1879−84 годах, принадлежит к тем историческим явлениям, когда совершенно новая мысль, открывающая целую эпоху и полностью противоречащая воззрениям прошлого и настоящего, пробивается и кристаллизуется со все возрастающей отчетливостью, лишь постепенно осознаваемая в своей смелости и новизне самим ее творцом. В 1870 году ему впервые является идея трансфинитных чисел; в 1873 году он постигает значение счетности и зияющую пропасть, отделяющую ее от континуума ; лишь теперь он решается предложить современникам свои идеи во всей их широте, отдавая себе полный отчет в их возможном воздействии: так, он говорит о «предметах, примыкающих к теории множеств или теснейшим образом с нею связанных, как, например, современная теория функций и, с другой стороны, логика и теория познания». Во всяком случае, часть пятая этой работы [13] , вышедшая также отдельно с предисловием [9] Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre. Ein mathematisch-phlosophischer Versuch in der Lehre des Unendlichen (Основания общей теории многообразий. Математико-философский опыт учения о бесконечном), Лейпциг, 1883 г. , делает ее важным событием не только в математике и философии, но и вообще в истории науки и человеческого мышления; без сомнения, она еще окажется поучительной и ценной с самых разнообразных точек зрения, пока нам недоступных.

Редакция “Mathematische Annalen” снискала высокую заслугу, открыв страницы своего журнала идеям, решительно неприемлемым для математического и философского мира того времени, которым еще предстояло более десятилетия ожесточенно бороться за свое признание.

В серии статей [13] излагается, главным образом, теория точечных множеств [10] Еще одна, седьмая статья, предусмотренная Кантором, не была осуществлена (что можно объяснить уже его болезнью) ; вместе с дополняющими ее работами [14]–[16] она содержит, прежде всего, теорию производных множеств, исследование строения точечных множеств и теорию объема, а также теорию порядковых чисел, в особенности второго класса. Следует упомянуть еще некоторые отдельные места, непосредственно не относящиеся к этим основным темам, но имеющие общее значение: сохранение свойства связности R n, когда из него удаляется счетное всюду плотное множество, после чего в столь разрывном пространстве оказывается возможным непрерывное движение; признание автора в конце части пятой, что успешное продолжение его исследований невозможно без расширения числового ряда в трансфинитную область, и его убеждение в том, что это расширение, как бы оно ни казалось сначала спорным математическому миру, в конце концов проложит себе путь; осуждение бесконечно малых величин, а также финитистской точки зрения Кронеккера, и дискуссия с финитистски ориентированными философами древности и средних веков до Спинозы, Лейбница и Канта; историко-критический и логико-математический анализ сущности континуума; общий метод вложенных интервалов. В эту последовательность статей вклинивается работа [8] , в которой Кантор, по инициативе Вейерштрасса, использует понятие счетности в своем методе сгущения особенностей.

В безмерном духовном напряжении, связанном с зарождением революционных идей работы [13], в особенности теории трансфинитных чисел, и с утверждением их вопреки сопротивлению современных исследователей, отягчающую роль сыграли две специфических трудности: борьба с проблемой континуума и усиление антагонизма с Кронеккером. О том и другом мы хорошо осведомлены благодаря изданным А. Шенфлисом письмам Кантора к Миттаг-Лефлеру [11] А. Шенфлис. Кризис в математическом творчестве Кантора. Acta Mathem., 50, 1–23 (1928). Ср. также Миттаг-Лефлер, ibid., стр. 25 и далее. от 1884 года, когда произошел решающий поворот в его жизни.

Когда в начале 1884 года была завершена основополагающая работа [13], Кантор уже далеко продвинул открытое еще в [10] и подчеркнутое в [11] деление бесконечных множеств на два класca – счетные и эквивалентные линейному континууму; как при этом обнаружилось, ко второму классу относятся, прежде всего, «совершенные множества». С другой стороны, также отправляясь от точечных множеств, он ввел трансфинитные порядковые числа второго числового класса (как символы порядка производных), конструируя их с помощью предельных процессов, подобных построению иррациональных чисел в виде фундаментальных рядов. Таким образом, казалось чрезвычайно вероятным, что второй числовой класс как раз имеет мощность континуума; и в самом деле, в шестой части работы [13] Кантор объявляет, что с помощью своих предыдущих теорем он может это предположение доказать; это должно было увенчать все полученные им результаты. Однако, его настойчивые попытки провести такое доказательство, как в то время, так и позже, летом и осенью 1884 года, с привлечением все новых методов, оказались безуспешными [12] Тогда же, летом 1884 г. П. Таннери, предпринял попытку доказать гипотезу Кантора; рассуждения его содержат ошибку. ( Bull. Soc. Math. de France, 12, 90–96, 1884) ; в ноябре он даже отказывается от своего предположения − построив мнимое доказательство, что континууму вообще не соответствует в качестве мощности никакой алеф − но на следующий же день изменяет это мнение. За повторными безуспешными усилиями следует усталость, уныние, разочарование; осенью 1884 года, после кризиса в состоянии здоровья, о котором пойдет речь дальше, вдруг обнаруживается стремление вообще отойти от математики. Он хочет полностью оставить ее и намеривается даже просить у министерства разрешения перейти в своей преподавательской деятельности от математики к философии [13] В действительности Кантор время от времени вел философские семинары, например, занимался Лейбницем, с целью разъяснить свою теорию актуальной бесконечности посредством сравнения с его мыслями. Как он любил говорить при этом, в качестве ординарного профессора философского факультета он имел право читать лекции даже о санскрите . Но прежде всего он отдается в то время, с величайшей энергией и, очевидно, в связи с расстройством здоровья, попыткам доказать, что автором пьес Шекспира был Френсис Бекон [14] В письме Кантора к Миттаг-Лефлеру от 17 декабря 1884 г., где, по-видимому, впервые идет речь об этом предмете, говорится: «Френсис Бекон, он и только он мог быть автором этих шедевров; ибо один и тот же огненный дух встречаем мы, с одной стороны, в этих драмах, а с другой − в “Moral essays” («Опыты о морали») и в других трудах Бекона» . Он и в этом направлении проявил свойственные ему увлеченность и настойчивость, о чем свидетельствуют, между прочим, опубликованные им по этому вопросу сочинения [15] Resurrectio Divi Quirini Francisci Baconi Baronis de Verulam Vicecomitis Sancti Albani CCLXX annis post obitum eius IX die apriles anni MDCXXVI. (Pro manuscripto.) Cura et impersis G(eorgii) C(antoris). Halis Saxonum MDCCCXCVI. [Воскресение Френсиса Бекона, барона веруламского, виконта Сент-Албанского, после смерти его 9 апреля 1626 года. (о рукописи). Издано усердием и за счет Г(еорга) К(антора). Галле в Саксонии, 1986(C предисловием на английском языке за подписью: “Dr. phil. George Cantor, Mathematicus” «Д-р философии Георг Кантор, математик». Confessio fidei Francisci Baconi Baronis de Verulam…cum versione Latina G. Rawley…, nunc denuo typis excusa cura impensis G. C. Halis Saxonum MDCCCXCVI. (C латинским предисловием за подписью G. C., 5 стр.). Собрание Релея тридцати двух стихотворений в память Френсиса Бекона. Свидетельство в пользу теории Бекона-Шекспира. Издано с предисловием Георга Кантора. Галле, 1897 . Как видно из его письма Дедекинду от 28 июля 1899 г., лишь вследствие недостатка времени и денег он в конце концов перестал разрабатывать эту тему, которой в периоды депрессии занимался даже в своих лекциях и семинарах; но живейший интерес к ней он сохранил на всю жизнь. Этим настроением разочарования в математике, и лишь отчасти действительным положением вещей объясняется его высказывание в то время, что он предпринял «утомительное и не особенно благодарное исследование точечных множеств», главным образом, для того, чтобы применить результаты к «естественному учению об организмах», для которого недостаточны применявшиеся до сих по механические принципы и которым он занимается уже в течение четырнадцати лет.