Адольф Френкель - Жизнь Георга Кантора

Далее, к его товарищам по Берлинскому университету принадлежал Г. А. Шварц, бывший на два года старше; впоследствии, впрочем, он встретил идеи Кантора с сильнейшим недоверием, в противоположность своему учителю Вайерштрассу, и до самого конца жизни особо предостерегал от них, подобно Кронеккеру, своих студентов. 14 декабря 1867 г. двадцатидвухлетний студент защитил в Берлинском университете дипломную работу, возникшую из глубокого изучения Disquisitiones arithmeticae («Исследования по арифметике») и «Теории чисел» Лежандра и оцененную факультетом как “dissertatio docta et ingeniosa” («Ученое и остроумное рассуждение») [1] Эта работа примыкает к формулам Гаусса для решения диофантова уравнения ax 2 + a'x' 2 + a"x" 2 = 0; в ней устанавливается некоторое соотношение, не приведенное у Гаусса в явном виде. Детальное обсуждение работ Кантора содержится в написанной мною подробной его биографии, опубликованной в Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereininung, т. 39 (1930), стр.189−266, а также отдельной книгой: «Георг Кантор», Лейпциг и Берлин, 1930 ; он посвятил ее своим опекунам (одновременно опекунам его брата и сестры). На устном экзамене он получил “magna cum laude” («с особым отличием»). Из трех предложенных им для защиты тезисов особенно характерен третий: “In re mathematica ars propenendi questionem pluris facienda est quam solvendi” (В математике искусство постановки вопросов важнее искусства их решения». Возможно, даже полученные им в теории множеств результаты уступают по значению революционным постановкам вопросов, столь далеко вышедшим в своем влиянии за пределы его собственных трудов.

Кажется, Кантор в течение короткого времени преподавал в Берлине в женской школе; во всяком случае, в 1868 г, он вступил, выдержав государственный экзамен, в известную семинарию Шельбаха, готовившую учителей математики.

Докторская диссертация, давшая Кантор возможность стать весной 1869 г. приват-доцентом университета в Галле, принадлежит, вместе с несколькими небольшими заметками, опубликованными в 1868−72 годах, еще к первому, арифметическому кругу его интересов, к которому он редко возвращался впоследствии [2] Целью диссертации является отыскание всех преобразований, переводящих в себя тернарную квадратичную форму; Кантор предлагает для этого путь, отличный от уже открытого в 1854 г. Эрмитом . Эти занятия теорией чисел под руководством и при одобрении Кронеккера, не были, впрочем, для Кантора лишь случайным эпизодом. Напротив, он испытал глубокое внутреннее воздействие этой дисциплины, с ее особой чистотой и изяществом. Об этом свидетельствует, наряду с первым, также третий представленный им к защите тезис: “Numeris integros simili modo atque corpora coelestia totum quoddam legibus et relationibus compositum efficere” («Целые числа, подобно небесным телам, трактовать как единое целое, связанное законами и соотношениями»). К раннему времени, возможно уже к этому периоду, относится также установление связей между различными теоретико-числовыми функциями и дзета-функцией Римана (примыкающее к работе Римана о простых числах); эта работа была опубликована Кантором лишь в 1880 г., под влиянием заметки Липшица в парижских Comptes Rendus («Докладах»). О дальнейших теоретико-числовых интересах Кантора говорит, кроме его числовой таблицы [3] «Эмпирическая проверка теоремы Гольдбаха до числа 1000». Кантор составил таблицу около 1884 г., но опубликовал ее лишь в 1895 г. в C.R. de l’Association Française pour l’Avancement de la Science», 23-me session (Caen, 1894) , также сохранившийся до 1884 г., но не осуществленный план опубликовать в Acta Mathematica, работу о квадратичных формах [4] Ср. Acta Math., 50, стр. 20 . .

Э. Гейне, бывший ординарным профессором в Галле в то время, когда Кантор защищал там диссертацию, сразу же понял, что в его молодом коллеге необычайная острота ума счастливо соединяется с богатейшей фантазией. Решающее значение имело то обстоятельство, что Гейне вскоре после переезда Кантора в Галле побудил его заняться теорией тригонометрических рядов. Ревностные труды над этим предметом не только завершились рядом существенных достижений, но и привели Кантора на путь к теории точечных множеств и трансфинитным порядковым числам. Работы [1] , [4] , [6] и [7] посвящены уточнению одного утверждения Римана о тригонометрических рядах (и сопутствовавшей этому полемике с Аппелем, в которой подробно рассматривалось понятие равномерной сходимости); в работе же [2] Кантор доказывает теорему о единственности тригонометрического представления [5] Удивительно, что Кронеккер, вначале положительно отнесшийся к теореме единственности Кантора (ср. [3] ), впоследствии полностью игнорирует этот результат; например, в “Vorlesungen über die Theorie der einfachen und mehrfachen Inegrale” («Лекциях по теории простых и кратных интегралов») (1894) он представляет вопрос о единственности как еще открытый! . Он стремится обобщить этот результат, отказываясь от каких-либо предположений о поведении ряда на некотором исключительном множестве; это вынуждает его изложить в работе [5] краткий набросок идей, «могущих быть полезными для выяснения отношений, возникающих во всех случаях, когда заданы числовые величины в конечном или бесконечном числе Здесь для точечных множеств вводятся предельные точки и производные (конечного порядка). С этой целью Кантор, с одной стороны, развивает свою теорию иррациональных чисел [6] В работе Гейне «Элементы теории функций» (J. Math., 74, стр. 172–188, 1872) иррациональные числа вводятся способом, в точности следующим идеям Кантора; ср. введение к статье Гейне, а также работу Кантора “Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten” («К учению о трансфинитном») , вслед за теорией множеств обессмертившую его имя, где иррациональные числа рассматриваются как фундаментальные ряды. С другой стороны, для перехода к геометрии он вводит особую аксиому (аксиому Кантора), одновременно и независимо появившуюся в несколько иной формулировке в книге Дедекинда «Непрерывность и иррациональные числа».

Читать дальше