Адольф Френкель - Жизнь Георга Кантора

В том же 1897 г., когда вышла последняя работа Кантора, в Цюрихе состоялся первый «Международный математический конгресс». Он встретил на конгрессе единодушное признание; наряду с секционным сообщением Адамара, использовавшего понятия теории множеств как уже известные и необходимые орудия, доклад Гурвица на первом пленарном заседании «О развитии общей теории аналитических функций в новейшее время» особенно ярко продемонстрировал, насколько плодотворными оказались для теории функций идеи Кантора и среди них столь оспаривавшиеся трансфинитные числа. Надо отметить, что три уже тогда ведущих исследователя, Гильберт, Гурвиц и Минковский, состоявшие между собой в дружбе, первые в странах немецкого языка поняли и пытались разъяснить оригинальность идей Кантора и значение его теории множеств; было это еще «в то время, когда в задававших тогда тон математических кругах самое имя Кантора было под запретом, а в его трансфинитных числах видели всего лишь вредные порождения фантазии» [27] Ср. речь Гильберта, посвященную памяти Минковского (Göttinger Nachrichten, 1909; Собрание сочинений Минковского, т.1), где цитируется также меткое замечание из доклада Минковского об актуально-бесконечном в природе. В обоих докладах упоминается оппозиция Кронеккера по отношению к идеям Кантора . Не только значение этих ученых, но также их особая связь со строгими методами теории чисел способствовали разрушению многих предубеждений против теоретико-множественных построений.

Кантор, чрезвычайно обрадованный признанием его в Цюрихе, в том же году рассказал узкому кругу немецких математиков о возникновении и основных результатах своей теории; этот неофициальный доклад, состоявшийся во время брауншвейгского собрания немецкого математического объединения, известен лишь по неопубликованным заметкам И. Штеккеля. Первые систематические изложения теории множеств, не принадлежащие ее автору, появились во Франции; прежде всего следует упомянуть книгу Бореля “Leçons sur la théorie des fonctions”(«Лекции по теории функций») [28] Ср. также его статьи в Revue philosophique за 1899 и 1900 годы, перепечатанные во 2-ом (и 3-ем) издании названной книги, в 1914 (1928) г. Если в учебнике Бореля имя Кантора лишь бегло упоминается, а результаты его доказываются совсем другим путём, то во введении к этим статьям Борель отвергает всякое подозрение в возможной недооценке Кантора, могущее возникнуть по этому поводу , в значительной степени уже представлявшую собой учебник теории множеств; там было, между прочим, впервые опубликовано найденное учеником Кантopa Феликсом Бвршптейном (первое безупречное) доказательство теоремы эквивалентности. Этой широко распространенной книгой и вышедшим в Jahresbbericht der Deutschen Maths.-Ver. за 1899−1890 гг. первым обзором Шенфлиса Entwicklung der Lehre von rer Punktmannigfaltigkeiten («Развитие теории точечных многообразий») и завершилось, в известном смысле, победоносное шествие теории множеств; она превратилась в дисциплину, равноправную другим отраслям математики, а вскоре даже получившую над ними преимущество. Первый учебник, специально посвященный теории множеств (супругов Юнг), появился в Англии в 1906 г., в Германии же такая книга вышла лишь в 1914 г. («Основы» Хаусдорфа); и все же горькие слова Кантора в письме Юнгу от 1908 г., жалующегося, что его в Германии (в отличие от Англии) не знают, представляются позднейшему наблюдателю несправедливыми или, может быть оправданными лишь в отношении внешних почестей [29] Все же нас удивляет теперь, что в Jahrbuch fur die Fortschritte der Mathematik, уже с 1892 г. нашедшем в лице Виванти сведущего референта по теории множеств, до 1904 года теоретико-множественные работы (за исключением отнесенных к геометрии) обсуждались в разделе «Философия», а затем переместились в подраздел между философией и педагогикой (и лишь под редакцией Лихтенштейна эта дисциплина обрела самостоятельное положение) . В действительности, например, уже задолго до начала века план «Энциклопедии математических наук» предусматривал статью по теории множеств (вышедшую в 1898 г.), и притом не среди отдельных геометрических дисциплин в томе III, но в числе первых статей I-го тома, наряду с основными разделами арифметики.

В 1899 г. когда супруги Кантор отпраздновали в Гарце серебряную свадьбу, мы видим 54-летнего исследователя вновь отдавшимся со всей энергией математическому творчеству. Это не привело, впрочем, к существенным достижениям или к публикации. Но и впоследствии он, во всяком случае сознательно, не отказывается от математической продукции. Так, в 1903 г. он докладывает на кассельском Собрании естествоиспытателей свои (неопубликованные) «Замечания к теории множеств», направленные, главным образом, против некоторых возражений французских философов. Около 1905 г. он состоит в весьма оживленной научной переписке с Филиппом Э. Б. Джорденом, а в 1908 г. даже обещает Юнгу представить свою следующую статью London Mathematical Society (Лондонскому математическому обществу). В особенности занимала его, как и прежде, проблема континуума, названная Гильбертом в его докладе на торжественном заседании Парижского международного математического конгресса (1900) в качестве первой из «математических проблем». Как рассказывает Шенфлисс [30] Jahresbbericht der Deutschen Maths.-Verein, 31, стр. 100 и далее (1922) , переживанием был для Кантopa доклад Юлиуса Кенига на Гейдельбергском международном математическом конгрессе (1904); опираясь на принадлежащее Ф. Бернштейну соотношение между алефами, Кениг пытался доказать, что мощность континуума не может быть алефом. Доклад этот произвел глубокое впечатление не только на Кантора, убежденного в возможности полного упорядочения любого множества и даже в соотношении , но и на весь математический мир, в центре интересов которого стояла тогда теория множеств. Кантор предпринял затем лихорадочные усилия опровергнуть этот результат, и вскоре, к его удовлетворению, оказалось, что лемма Бернштейна верна лишь в некоторых предположениях, делающих вывод Кенига несостоятельным.