Адольф Френкель - Жизнь Георга Кантора

Из отдельных мест, имеющих философское значение, упомянем замечание в работе [13], ч. 5, о формировании понятий ; в противоположность «субстанциальному» пониманию Аристотеля, здесь изображается функциональный процесс в том смысле, как он утвердился в современном учении о формировании понятий у Риккерта, Кассирера и др. Далее, следует отметить, что Кантор упорно и неоднократно боролся (против Гамильтона, Когена и др.) с еще и ныне высказываемой точкой зрения, согласно которой число или понятие величины основывается на понятии времени; в работе [13], ч. 5, он в особенности возражает против учения о времени Канта.

Для общего понимания математики Кантором существенно представление о реальности научных идей (например, целых − конечных и бесконечных − чисел); эта реальность имеет для него двоякий смысл: с одной стороны, как интрасубъективная или имманентная реальность, закрепленная определениями, отводящими соответствующему понятию определенное, отдельное от других понятий место в человеческом мышлении, благодаря чему это понятие «некоторым образом модифицирует субстанцию нашего разума»; с другой же стороны, как транссубъективная или трансиентная реальность, когда понятие является «отражением процессов и отношений в противостоящем интеллекту внешнем мире» (См. [13], ч. 5).

Для Кантора оба вида реальности совпадают, вследствие единства содержащего нас самих всеобщего, и он полагает, что каждому понятию, реальному в первом смысле, присуща также и трансиентная реальность, установление которой составляет часто труднейшую задачу метафизики. Характерное же преимущество математики он усматривает в том, что она «при разработке своего идейного материала должна принимать во внимание исключительно одну лишь имманентную реальность ее понятий, вовсе не будучи при том обязана подвергать их испытанию также в отношении их трансиентной реальности» [38] Возникает вопрос, сознательно или несознательно примыкает здесь Кантор к Г. Ганкелю, уже в 1867 г. в своей “Theorie der komplexen Zalensysteme” («Теории комплексных числовых систем»), указавшему в качестве предмета математики «интеллектуальные объекты», которым действительные объекты или их отношения могут но не обязаны соответствовать» . На этой характеристике, объясняющей, как ему кажется, «относительную легкость и беспрепятственность занятий математикой, он основывает свое предложение присвоить ее почетное наименование «свободной математики».

Кантор описывает здесь своеобразие и значение математики (и тем самым, можно было бы добавить, также теоретической логики) в чисто рациональном плане, определяя ее, коротко говоря, как ту науку, которая не содержит метафизики; это вовсе не значит, однако, что его отношение к математике было односторонним. Уже два первых тезиса его диссертации показывают, как высоко он ценил ее еще в юношеские годы в эстетическом и этическом отношении: “Eodem modo literis atque arte animos delectari posse” и “Jure Spinosza mathesi eam tribuit, ut hominibus norma et regula veri in omnibus rebus indagandi sit”

Вопреки той уверенности, с которой Кантор усматривал сущность математики в ее свободе, следует заметить, что эмоционально он отнюдь не был склонен признать непротиворечивость единственным критерием существования математических объектов. В самом деле, ведь он пришел к трансфинитным порядковым числам не «свободным путем работы [13], ч. 5, а в некотором смысле вынужденный к этому итерацией построения производных множеств, в частности, стремлением к созданию их общей символики. Точно так же, его чрезмерно резкое отрицание «бесконечно малых», без сомнения, объясняется ощущением преимущества трансфинитных чисел − выводимых из «данных» множеств [39] Ср. следующее место в работе “Über die verschiedenen Standpunkte in Besug auf das aktuelle Unendliede”: «Если бы первое (множество) не противостояло нам как объект, то чтó могло бы последнее (соответствующее кардинальное число) отражать в качестве абстрактного образа в нашем разуме?» − по сравнению с общими неархимедовыми системами величин.

Мы упомянули выше убеждение Кантона, что математическим понятиям, наряду с имманентной реальностью, только и касающейся математика, сама собою присуща также транссубъективная реальность; с этим теснейшим образом связано представление Кантора, которое можно в несколько заостренной форме выразить словами: математик не изобретает предметы своей науки, но открывает их. Это воззрение, выраженное уже в третьем тезисе его диссертации, снова подчеркивается в конце его творчества, когда он предпосылает завершающему изложению [18] эпиграфы: