Андрей Павлов - Геометрия - Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Из прямоугольного треугольника ВМС следует:

тогда

Из ?АКС:

А теперь по теореме косинусов, применённой к треугольнику ABC, получаем:

Ответ: AB = ?41; AC = 5.

6. В треугольнике, один из углов которого равен разности двух других, длина меньшей стороны равна 1, а сумма площадей квадратов, построенных на двух других сторонах, в два раза больше площади описанного около треугольника круга. Найти длину большей стороны треугольника (рис. 131). (2)

Рис. 131.

Решение: Обозначим через ? наименьший угол в треугольнике и через ? наибольший угол. Тогда третий угол равен ? – ? – ?. По условию задачи ? – ? = ? – ? – ? (больший угол не может равняться разности двух других углов). Отсюда следует, что 2? = ?; ? = ?/2. Значит, треугольник прямоугольный. Катет ВС, лежащий против меньшего угла ?, равен по условию 1, значит, второй катет АВ равен ctg?, а гипотенуза АС равна 1/sin ?. Поэтому сумма площадей квадратов, построенных на гипотенузе и большем катете, равна:

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, и её радиус равен:

а площадь равна:

Пользуясь условием задачи, имеем уравнение:

откуда

Длина большей стороны треугольника равна

Ответ:

7. Длины сторон а, b, с треугольника равны 2, 3 и 4. Найти расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей. (2)

Решение. Для решения задачи даже чертеж не нужен. Последовательно находим: полупериметр

Расстояние между центрами окружностей:

Ответ:

8. В треугольнике ABC величина угла ВАС равна ?/3, длина высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ, равна ?3 см, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 5 см. Найти длины сторон треугольника ABC (рис. 132). (3)

Рис. 132.

Решение: Пусть CD – высота треугольника ABC, опущенная из вершины С. Возможны три случая. Основание D высоты CD попадает:

1) на отрезок АВ;

2) на продолжение отрезка АВ за точку В;

3) в точку В.

По условию радиус R окружности, описанной около треугольника ABC, равен 5 см. Следовательно, во всех трех случаях:

Теперь ясно, что точка D не совпадает с точкой В, так как ВС ? CD. Применяя теорему Пифагора к треугольникам ACD и BCD, находим, что

Отсюда следует, что точка D лежит между точками А и В, но тогда АВ = AD + BD (1 + 6?2) см.

Ответ: АВ = (6?2 + 1) см, ВС = 5?3 см, АС = 2 см.