Хавьер Фресан - Том. 22. Сон разума. Математическая логика и ее парадоксы

В другой формулировке этого парадокса утверждается, что стрела никогда не достигнет цели, так как когда она пролетит половину требуемого расстояния, ей нужно будет преодолеть вторую половину, когда она пролетит половину этой половины — останется четвертая часть, затем восьмая и так далее до бесконечности. Однако в реальной жизни Ахиллес всегда обгоняет черепаху, а стрела долетает до цели.

Возможно, наиболее интересными среди классических парадоксов являются антиномии — утверждения, истинные и ложные одновременно. Среди них выделяется парадокс лжеца, обычно приписываемый Эпимениду Критскому, хотя возможно, что этот философ, о котором говорили, будто он проспал 57 лет в пещере, зачарованной Зевсом, не осознавал, что формулирует парадокс. В одном из стихов Эпименид говорит о «критянах, вечно лживых», которые не верили в бессмертие Зевса. Однако сам Эпименид также был критянином, поэтому его утверждение относилось к нему самому и было равносильно высказыванию «Я всегда лгу».

Допустим, что Эпименид лжет, тогда его высказывание не может быть верным, следовательно, он говорит правду. Если же, напротив, Эпименид говорит правду, то его высказывание должно быть истинным, следовательно, он лжет. По легенде, поэт Филит Косский умер от изнеможения, пытаясь разрешить этот парадокс.

В действительности фраза «я всегда лгу» не парадокс в строгом смысле этого слова, так как ее отрицанием является не высказывание «я всегда говорю правду», как мы предположили выше, а высказывание «я лгу не всегда» или «иногда я говорю правду». Тем не менее, вложив в уста Эпименида слова «эта фраза ложна», мы получим настоящий парадокс. В самом деле, предположим, что эта фраза истинна — в этом случае она должна выполняться, то есть быть ложной. Но если эта фраза ложна, то она должна быть истинной, так как она относится к себе самой. Если она истинна, то она ложна, если она ложна, то истинна. Это нарушает закон исключенного третьего, согласно которому любая фраза является истинной или ложной, и принцип непротиворечивости, который гласит, что обе эти ситуации не могут происходить одновременно.

* * *

ОСТРОВ РЫЦАРЕЙ И ОРУЖЕНОСЦЕВ

Некий логик попал на остров, все жители которого делились на две группы: рыцари всегда говорили правду, а оруженосцы всегда лгали. Повстречав троих жителей А, Ви С, логик спросил А, к рыцарям или оруженосцам он принадлежит, но получил столь путаный ответ, что был вынужден обратиться к в и спросить его: «Что сказал А?». Вответил: « Асказал, что он оруженосец». Однако в этот самый момент в разговор вмешался С, который предупредил логика: «Не верь В, он лжет!»

На основе этих двух утверждений логик может определить, кем же являются Bи С. В самом деле, согласно В, житель Асказал «Я оруженосец», что можно считать одной из версий парадокса лжеца: «Я всегда лгу». Следовательно, существует единственный непротиворечивый выход из этой ситуации: когда Вговорил об А, он солгал, следовательно, В— оруженосец. Таким образом, когда Спредупреждал логика, он говорил правду, из чего следует, что С— рыцарь. Чтобы узнать, кем на самом деле является А, нам потребуется задать дополнительные вопросы.

* * *

В разные эпохи парадокс лжеца трактовался по-разному. Сервантес, например, упоминает его в главе LI второй части «Дон Кихота» — «О том, как Санчо Панса губернаторствовал далее, а равно и о других поистине славных происшествиях» в качестве примера того, сколь трудные решения приходилось принимать Санчо Пансе на острове Баратария. До этого, в главе XVIII, дон Кихот объясняет, что к наукам, которые должен знать странствующий рыцарь, принадлежит математика, «ибо необходимость в математике может возникнуть в любую минуту». Именно это про

исходит с Санчо Пансой, когда ему сообщают о деле хозяина поместья, разделенного рекой, который обязывал всякого, кто хотел переправиться через нее, сначала сообщить, куда он направляется. Если путник говорил правду, ему разрешалось переправиться через реку, но если он лгал, его ждала казнь. После вступления закона в силу судьи беспрепятственно пропускали почти всех, пока в один прекрасный день перед ними не предстал человек, который заявил, что направляется на виселицу, чтобы быть повешенным. Посовещавшись, судьи вынесли вердикт: «Если позволить этому человеку беспрепятственно следовать дальше, то это будет значить, что он нарушил клятву и согласно закону повинен смерти; если же мы его повесим, то ведь он клялся, что пришел только затем, чтобы его вздернули на эту виселицу, следственно, клятва его, выходит, не ложна, и на основании того же самого закона надлежит пропустить его» [2] Перевод Н. Любимова , Б. Кржевского. — Примеч. ред . .