Хавьер Фресан - Том. 22. Сон разума. Математическая логика и ее парадоксы

Математическая формулировка этого принципа гласит, что элемент либо принадлежит множеству, либо нет. Так как любой третий вариант исключен, в математике этот принцип называется законом исключенного третьего.

Чтобы объяснить свой парадокс простыми словами, Рассел описал город, где по закону брадобрей должен брить только тех, кто не бреет себя сам. Мы заменили свойство «принадлежать самому себе» на «бриться самому», и теперь в роли множества R будет выступать брадобрей. В этой версии парадокса возникает вопрос: кто бреет брадобрея? Если он бреет себя сам, то принадлежит к числу тех, кого по закону ему брить нельзя. Если же он не бреет себя сам, то по закону он должен брить себя сам. Что бы они ни делал, он окажется в тюрьме, где, возможно, некий логик попытается убедить его, что провести несколько лет в тюрьме всегда лучше, чем столкнуться с противоречием, которое ставит под сомнение правильность всей математики двух тысячелетий.

В другой версии парадокса брадобрей заменен на библиотекаря, которому нужно навести порядок в библиотеке — такой большой, что для нее требуется каталог, содержащий все каталоги. Кто-то предложил, что было бы неплохо отделить каталоги, которые содержат ссылки на самих себя, от каталогов, которые не содержат таких ссылок. Это предложение понравилось библиотекарю, и он принялся за работу.

В течение многих лет он работал днями и ночами, и вот, когда он осмотрел одну за другой все полки, ему осталось решить, куда следует поместить объемистый каталог, в составление которого он вложил столько сил. Если этот каталог содержит ссылку на самого себя, его нельзя включить в каталог всех каталогов, которые не содержат ссылку на себя. Если, напротив, этот каталог не содержит ссылки на себя самого, его нужно включить в каталог всех каталогов, которые не содержат ссылку на себя. Если он принадлежит к такому каталогу, то не принадлежит ему, и наоборот. Лишь в этот момент библиотекарь понял, что все его труды оказались напрасными: предложенный критерий не позволит составить полную классификацию.

Столкнувшись с этим парадоксом, Рассел написал письмо Фреге, который в то время вносил правки в доказательства второго тома своего главного труда — «Основные законы арифметики». В него Фреге включил аксиому, благодаря которой стало возможным сформировать множество всех объектов, обладающих свойством Р , однако Рассел открыл, что если эту аксиому применить к самому свойству Р = «принадлежать самому себе», то это приведет к противоречию: множество R всех множеств, которые не принадлежат сами себе, нарушает закон исключенного третьего. Обескураженный этим открытием, Фреге, с присущей ему скрупулезностью, добавил к книге предисловие, в котором признался: «С автором не может произойти ничего более печального, чем, закончив свой труд, увидеть, как рушится одна из основ выстроенного им здания». Затем он предложил видоизменить эту аксиому, однако ее новый вариант не согласовывался с остальной системой аксиом, поэтому решения парадокса Рассела пришлось ждать несколько лет.

В период с 1906 по 1908 год Рассел нашел простое решение парадокса, на основе которого сформулировал теорию типов. До этого он занимался решением онтологической задачи, предметом которой были описания вида «наибольшее натуральное число» или «нынешний король Франции», которые, будучи грамматически корректными, не описывают никакой конкретный объект. В случае с «множеством всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента» дело обстоит еще хуже: это множество не просто не существует, но даже его описание не является корректным. Оно равносильно высказыванию «Франция в период правления нынешнего короля» или «наибольшее натуральное число».

* * *

РАССЕЛ О ФРЕГЕ

В письме к историку математической логики Жану ван Хейенорту от 23 ноября 1962 года Рассел так отзывался о Фреге:

«Когда я думаю о благородстве и честности, то понимаю, что не знаком ни с кем, кто мог бы сравниться с Фреге в стремлении к поиску истины. Фреге заканчивал труд всей своей жизни, большая часть его трудов была проигнорирована, а предпочтение было отдано людям бесконечно менее компетентным, чем он. Второй том уже был готов к публикации, и когда Фреге понял, что его фундаментальная гипотеза была ошибочной, он отреагировал на это с интеллектуальным удовольствием, подавив всякое разочарование. Это было чем-то почти сверхчеловеческим и являло собой признак того, на что способны люди, которые посвятили себя творчеству и знанию, а не отчаянной погоне за властью и славой».