Хавьер Фресан - Том. 22. Сон разума. Математическая логика и ее парадоксы

* * *

В простейшем варианте теории Рассела каждому математическому объекту можно присвоить число в зависимости от его сложности: элементы имеют тип 0, множества элементов — тип 1, множества множеств элементов — тип 2 и т. д. Например, если рассмотреть натуральные числа, то число 8 будет иметь тип 0, множество Р всех четных чисел и множество I всех нечетных чисел — тип 1, а множество { Р, I } будет иметь уже тип 2, так как его элементы будут иметь тип 1. После того как всем объектам присвоены типы, устанавливается нерушимое правило: для объекта типа n можно задать отношение принадлежности только к объекту типа n + 1. Выражение «число 8 четное» является корректным, так как 8 имеет тип О, Р — тип 1. Тем не менее нет смысла задаваться вопросом, является ли само множество Р четных чисел четным числом или нет, так как в этом случае речь идет об отношении принадлежности, связывающем объекты одного типа. Именно о таком отношении шла речь в описании множества всех множеств, которые не принадлежат самим себе. На языке логики говорить «принадлежать самому себе» с концептуальной точки зрения некорректно, и здесь парадокс исчезает: для данного свойства Р можно рассмотреть множество объектов, которые обладают этим свойством, однако для этого Р как минимум должно быть корректно определено.

Эрнст Цермело, создатель первой аксиоматики теории множеств.

Одновременно с публикацией в журнале American Journal of Mathematics статьи Рассела «Математическая логика, основанная на теории типов» Эрнст Цермело(1871–1953) предложил новое решение этого парадокса, менее концептуальное, чем выдвинутое Расселом, но намного более практичное с точки зрения «рабочих от математики». Сегодня нам известно, что одна из величайших трудностей при создании любой теории — это определить предмет ее изучения. Повсюду говорят о теории информации, но что такое информация? Некоторые определяют биологию как науку о жизни, но что такое жизнь? Этими же вопросами задался Цермело при рассмотрении теории множеств. Согласно интуитивному определению Кантора, множества были не более чем совокупностями объектов, обладающих определенным свойством, однако такое определение допускало создание множества всех множеств, которые не принадлежат сами себе. Без четкого определения множества нельзя было двигаться дальше. Цермело заменил примитивное определение множества списком аксиом, в число которых включил аксиому, не позволявшую определить множество из парадокса Рассела. Начиная с этого момента множества стали определяться как объекты, удовлетворяющие списку аксиом.

Мы начали эту главу с анализа парадокса Рассела, однако пусть читатель не думает, что логические парадоксы являются исключительно творениями современности. Само слово «парадокс» — «неожиданный, странный» — имеет греческие корни.

В широком смысле парадокс — это абсурдное заключение, к которому ведут рассуждения, кажущиеся правильными и начинающиеся с корректных гипотез. Когда Рассел стал рассматривать множество всех множеств, которые не принадлежат сами себе, он опирался на литературную и философскую традицию. Вплоть до конца XIX века казалось невозможным, что парадоксы пересекут границу естественных наук и вторгнутся в царство чистого разума. Философы прибегали к парадоксам, чтобы подчеркнуть, что чувства обманчивы, а поэты использовали парадоксы как единственный способ донести до читателя истину о любви. Математики же страшились парадоксов, словно ящика Пандоры, открыв крышку которого, можно разрушить все в один миг. Поэтому открытие противоречий в теории множеств в то самое время, когда ученые постепенно начали признавать труд Кантора универсальной основой математики, вызвало кризис, пошатнувший самые основы науки. И на преодоление этого кризиса потребовалось несколько лет.

Один из древнейших парадоксов — это парадокс об Ахиллесе и черепахе, с помощью которого философ-досократик Зенон Элейский, ученик Парменида, хотел доказать, что движения не существует, и нанести удар по защитникам атомистической концепции пространства и времени. Зенон объяснял: фора, которую Ахиллес дает черепахе, чтобы забег проходил в равных условиях, непреодолима — когда атлет добежит до того места, где черепаха находилась вначале, она проползет чуть дальше. Когда Ахиллес преодолеет расстояние, пройденное черепахой, он вновь не сможет поравняться с ней — она успеет проползти немного вперед. Ахиллеса всегда будет отделять от черепахи некоторое расстояние, сколь бы малым оно ни было.