Эдуардо Арройо - Том 42. Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики

Открытие Пуанкаре, с одной стороны, радует, потому что объясняет такое явление, как случайность, в рамках законов физики, но с другой стороны — обескураживает: чувствительность к начальным условиям делает поведение некоторых систем непредсказуемым. Это крайне неудобно, особенно если учесть, что любая физическая система состоит из большого числа взаимно притягивающихся и взаимно отталкивающихся тел, таких как атомы или электроны, и, следовательно, любая система превращается в потенциально непредсказуемую.

Конечно, ситуация не так безнадежна, как может показаться на первый взгляд, но для того, чтобы осознать это, необходимы новые математические инструменты, которые позволили бы изучать нелинейные системы, то есть системы с хаотическими элементами.

Несмотря на то что открытие Пуанкаре произошло в конце XIX века, изучение нелинейных систем не продвинулось до 60-х годов прошлого века, пока метеоролог Эдвард Лоренц(1917–2008), неудовлетворенный математическим аппаратом, которым тогда пользовались в его сфере деятельности, не расширил работу Пуанкаре, сформулировав теорию хаоса.

Открытие к Лоренцу пришло случайно: в его распоряжении был компьютер, с помощью которого ученый мог смоделировать погоду на неделю. При данном метеорологическом состоянии в определенный момент времени компьютер вычислял давление и температуру на следующую неделю. Однажды Лоренц решил сэкономить время и начал моделирование, пользуясь лишь частью данных, полученных за предыдущий день. К его удивлению, оказалось, что при вводе одних и тех же начальных величин компьютер делает абсолютно разные прогнозы. Каким-то образом одни и те же алгоритмы, примененные почти к одним и тем же начальным условиям, давали другие результаты.

Лоренц пришел к выводу, что система настолько чувствительна к начальным условиям, что даже небольшие различия в двоичном представлении чисел заставляют сделать абсолютно разные прогнозы. Сегодня известно, что предсказать погоду более чем за две недели невозможно, какой бы мощный компьютер мы ни использовали. Это явление будет подробнее рассмотрено в главе 5.

Изучение хаотических систем, как и проблема трех тел с взаимным притяжением, требует введения нового понятия — динамической системы. Введение динамических систем следует из уравнений Гамильтона, но эти системы могут использоваться в самых разных областях, от метеорологии до социологии. Динамические системы применяются в физике, но представляют собой не физическую теорию, а отрасль математики. Понять, как работают динамические системы, очень важно для возможности прогнозировать поведение газа, как будет видно в следующей главе.

Идея динамической системы появляется, если с новой точки зрения посмотреть на гамильтониан. Вспомним, что уравнения Гамильтона говорят нам, как изменяются импульсы и положения во времени, то есть при заданных начальных положении и импульсе мы можем сделать вывод о движении частицы для любого момента в будущем.

Возьмем очень маленький промежуток времени. Если мы знаем положение и импульс нашей частицы в определенный момент, то уравнения Гамильтона дадут нам положение и импульс этой частицы в последующий момент. Как только мы узнаем эти положение и импульс, мы снова можем применить уравнения Гамильтона, и так далее. То есть эти уравнения можно понимать как ряд инструкций для поиска клада: исходные положение и импульс показывают нам, где мы должны начинать искать.

На карте сказано: «Два шага вправо», — и мы двигаемся туда. В случае с частицей именно уравнения Гамильтона указывают нам, куда двигаться. Затем мы снова смотрим инструкции: «Два шага вперед», — и получаем наше новое положение, и так далее.

Это можно проиллюстрировать следующим образом.

Итак, уравнения Гамильтона — это серия инструкций для поиска следующей точки траектории при заданном начальном положении, только траектории живут не в привычном пространстве, а в фазовом, которое, как мы помним, включает в себя как положения, так и импульсы. Таким образом, уравнения Гамильтона — это просто правило для описания изменения определенной системы в каждый промежуток времени, если заданы начальные условия.

Теперь пойдем немного дальше. У нас есть два элемента: положение частицы в абстрактном пространстве из N измерений и правило для нахождения ее следующего положения. В нашем случае пространство — это пространство положений и импульсов, а правило задано уравнениями Гамильтона. Что произошло бы, если бы мы воспользовались другим правилом? И другим пространством? Мы бы получили другую систему, более общую, которая называется динамической системой .