Эдуардо Арройо - Том 42. Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики

* * *

Хотя мы и не можем оказаться в четырехмерном пространстве, каждое измерение которого представлено числом, в действительности мы видим мир в гораздо большем количестве измерений, чем три.

Так, мы различаем цвета, которые воспринимаем в зависимости от интенсивности зеленого, красного и голубого. Это означает, что нам нужно три дополнительных числа для представления каждой точки пространства, следовательно, мы видим в большем количестве измерений, чем три. Один из способов наглядно представить дополнительные измерения — это вообразить черно-белую шкалу и сопоставить окраску определенной интенсивности с каждым дополнительным измерением, которое нам потребуется. Так мы можем получить наглядное представление о пространствах, существующих только в мире математики.

Другой способ — представить число, парящее над объектом. Это число обозначает положение в четвертом измерении, в которое перемещается объект.

Измерения могут выражаться не только с помощью указания на положение точки. Например, для выражения температуры тоже необходимо число. Если мы говорим, что частица находится в некоторой точке, и ее температура равна двадцати семи градусам, на самом деле мы используем четыре измерения: три для пространства и одно для температуры. То же происходит, если говорить об интенсивности электромагнитного поля области или о влажности; для каждой из этих величин нам нужны новые числа, значит, мы увеличиваем размерность изучаемой системы.

Другой способ, помогающий наглядно представить пространства высокой размерности, связан, как ни странно, с сокращением количества измерений. Большинство движений, которые могут быть изучены, происходят на самом деле в двух измерениях: например, вращение Земли вокруг Солнца совершается по орбите в виде эллипса и может быть схематически отображено на бумаге без каких-либо затруднений. Таким образом, для представления движения нам нужно только два измерения, а третье мы можем использовать для других интересующих нас величин, таких как энергия или импульс. То есть мы можем использовать пространственные измерения для представления величин, никак не связанных с пространством.

Познакомившись с n -мерными пространствами, мы можем рассмотреть, как они используются для описания поведения молекул газа. Для начала сосредоточим внимание на одной частице, а затем расширим анализ на неограниченное их число.

Вспомним, что положение частицы может быть описано с использованием любого типа координат, необязательно в прямоугольной системе. Поскольку наше пространство имеет три измерения, нам необходимо три числа для указания положения частицы. Координаты могут быть любыми, так что обозначим их через q и добавим какой-нибудь индекс: q 1, q 2 и q 3 .

Однако знание положения частицы не дает нам достаточно информации для возможности прогнозировать ее поведение. Для этого мы должны также знать, в каком направлении частица движется и с какой скоростью. В качестве варианта мы можем использовать импульс, который является произведением массы частицы на скорость (этот способ предпочитают физики, поскольку он значительно упрощает вычисления).

Для определения как импульса, так и скорости также нужно три числа. Предположим, что кто-то говорит нам: «Автомобиль выезжает на скорости 100 км/ч из Стамбула. За сколько времени он доедет до Москвы?» Ответ зависит от того, в каком направлении он едет: если авто выезжает на юг, поездка окажется очень длинной, потому что водителю придется обогнуть земной шар, но если он поедет напрямую в сторону Москвы, то прибудет на место намного раньше. Итак, недостаточно знать скорость автомобиля, нам нужно и число для определения направления. Кроме того, если бы у автомобиля была возможность летать, нам понадобилось бы и третье число, чтобы показать, что он движется не вверх, а горизонтально.

Другой способ понимания заключается в том, что у скорости есть три составляющие, по одной для каждого возможного направления. Каждая составляющая говорит нам о скорости, с которой объект движется в этом направлении. Поскольку импульс частицы — это масса, умноженная на скорость, нам также нужны три составляющие, по одной для каждой составляющей скорости.

Так как мы используем обобщенные координаты, каждой координате приписывается обобщенный импульс, обозначенный буквой р . Координате q 1 соответствует импульс p 1 и так далее.