Эдуардо Арройо - Том 42. Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики

Новые геометрии могут рассматриваться как обобщение понятия расстояния. Вспомним, что длина стрелки вычисляется суммированием квадратов длин сторон и извлечением квадратного корня:

Но мы можем определить расстояние и по-другому. Например, общая теория относительности определяет расстояние в пространстве и во времени. Если с— скорость света, a d— евклидово расстояние, то пространственно-временное расстояние выражается следующим образом:

Неевклидовы геометрии больше подошли для описания действительности, чем наш здравый смысл.

* * *

На самом деле, в одном измерении это просто а, которое можно выразить следующим образом:

l = √( a 2)

Рассмотрев эти три выражения, можно сделать вывод, что для получения длины в еще одном измерении нужно прибавить квадрат следующей координаты. Таким образом, в n -мерном пространстве складываются квадраты n координат и извлекается корень суммы. Выражаясь математически, если обозначить n -ную координату через х , то:

Это выражение легко распространяется на любое число измерений. Таким образом, мы получили формулу для расчета длины стрелки в пространстве с любым количеством измерений. И это потрясающее математическое достижение.

Понятие объема можно определить как количество пространства, которое занимает объект. Можно ли говорить об объемах в других измерениях? Например, подошло бы наше понятие объема обитателям Вселенной из пяти измерений?

Прежде чем анализировать пространства с размерностью больше трех, рассмотрим меньшее количество измерений.

В нашей повседневной действительности объем измеряется в кубических метрах (м 3), кубических сантиметрах (см 3) или в целом в любой единице измерения расстояния, возведенной в куб. Любопытно, что показатель степени единицы измерения объема совпадает с числом измерений пространства, в котором мы живем.

Теперь возьмем другую знакомую величину — площадь. Она измеряется в единицах измерения длины в квадрате, обычно в квадратных метрах, или м 2. Площадь используется для измерения количества пространства, которое занимает плоская, то есть двумерная фигура. Итак, мы можем трактовать площадь как вид объема для двумерных объектов. Точно так же длина соответствует объему одномерных объектов.

Теперь вообразим, что в нашем мире только два измерения. То есть мы существа, ограниченные площадью, как муравьи. В этом мире мы не знали бы понятия объема, а только понятие плоскости. Для нас двумерным эквивалентом объема была бы площадь.

* * *

ФЛАТЛАНДИЯ

«Флатландия» (в переводе с английского "Flatland") — это название романа английского автора Эдвина Эбботта(1838–1926) , в котором для сатирического описания викторианского общества используется понятие пространств из нескольких измерений. Во «Флатландии» рассказывается история о Квадрате, который живет в двумерном мире, где социальный статус каждого многоугольника определяется числом его сторон. Однажды квадрату наносит визит Сфера, которая живет в Трехмерии — трехмерной стране, и рассказывает ему о своей родине. Однако Квадрат отказывается верить в существование третьего измерения, пока не посещает страну своей новой знакомой.

Увидев третье измерение, главный герой предполагает существование еще большего количества измерений, например четвертого, пятого и шестого, но Сфера не верит ему и возвращает его обратно, во Флатландию, где Квадрат проводит остаток дней в тюрьме, пытаясь убедить соотечественников в том, что в мире больше двух измерений. Этот сюжет очень похож на сюжет мифа о пещере Платона, который, как говорят, поместил на дверях своей Академии изречение: «Не знающий геометрии да не войдет сюда».

В момент публикации «Флатландия» была принята довольно тепло, а после открытия Альбертом Эйнштейном общей теории относительности Эбботта стали считать фантастом за предвидение новых измерений.

Обложка первого издания «Флатландии ».