Эдуардо Арройо - Том 42. Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики

r = (5, 7, 9, 2, 3, 6, 4, 1, 3, 3).

Но как выглядит положение в десяти измерениях? Все понимают, что значит положение на плоскости, но очень сложно и даже невозможно представить пространство из пяти и более измерений. И какой смысл в том, чтобы анализировать пространства, имеющие больше трех измерений?

Великий потенциал математики состоит в том, что эта наука способна описывать объекты, которые невозможно представить. Если удается обнаружить ряд правил, работающих для одного, двух и трех измерений, их можно распространить на произвольное количество последних. Использование этих правил не требует какого-либо наглядного представления, а с его помощью можно описать свойства абсолютно новых геометрических объектов. Со временем оказалось, что многие из этих геометрических объектов, находящихся в стороне от повседневного опыта, имеют огромное значение при изучении действительности. Кажется, что математики способны, основываясь на абстрактных рассуждениях, раскрыть тайны Вселенной до того, как на них обратят внимание естественные науки.

Для того чтобы получить представление о типе отношений, которые могут выводиться для любого измерения, лучше всего подходит понятие длины, например длины стрелки.

Начнем с одномерного пространства. Предположим, что мы хотим найти длину этой стрелки.

Для этого вычитаем точку, где стрелка начинается, из точки, где она заканчивается, то есть ее длина равна 10 — 0 = 10 единиц.

В двумерном пространстве найти длину сложнее.

Как можно заметить, невозможно вычислить длину, просто глядя на график.

Нам потребуется теорема Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то есть если h — гипотенуза, а и Ь — катеты, то:

h 2= a 2 + Ь 2.

Таким образом, длина гипотенузы равна квадратному корню суммы квадратов катетов:

Поскольку отрезок образует треугольник с горизонтальными и вертикальными осями, нам нужно только заменить стороны а и b числами 3 и 4 соответственно, длину стрелки обозначим через l :

Теперь рассмотрим трехмерное пространство.

Горизонтальная проекция образует прямоугольный треугольник.

В этом случае длину можно найти в два этапа. Мы видим, что отрезок снова образует треугольник, в котором мы знаем высоту (она равна семи единицам), но не основание. Чтобы найти основание, нужно понять, что оно также является гипотенузой прямоугольного треугольника со сторонами три и четыре, как показано на рисунке. Обозначив основание через h , имеем:

h 2= a 2+ b 2= 3 2+ 4 2= 25.

Используя полученный результат, применим теорему Пифагора к большому треугольнику, высота которого семь единиц, а основание — пять. Обозначим через с высоту, через l длину. Помня, что h 2= a 2 + Ь 2имеем:

В наших рассуждениях просматривается определенная модель. В двух измерениях длина — это квадратный корень суммы квадратов каждой координаты, то есть:

В то время как в трех измерениях длина равна:

* * *

НЕЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Геометрия, которой мы пользуемся до сегодняшнего дня, была описана греческим математиком Евклидом(ок. 325 до н. э. — ок. 265 до н. э.). В своей книге «Начала» он описал пять аксиом, то есть утверждений, которые Евклид считал истинными, построив на их основе остальную геометрию.

В пятой аксиоме Евклида утверждается, что параллельные прямые никогда не пересекаются. Включение этой аксиомы в число основных вызывало вопросы у математиков: они были убеждены в том, что ее можно вывести из четырех предыдущих. Однако все попытки сделать это не увенчались успехом. В конце концов было решено попробовать другой путь: изменить пятую аксиому и доказать, что это ведет к противоречию. Но, к удивлению математиков, новые геометрии с измененной пятой аксиомой не были противоречивыми. В конце концов ученые вынуждены были признать, что евклидова геометрия не является единственно возможной.