Альберт Виолант-и-Хольц - Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике

* * *

ПРОСТЫЕ ЧИСЛА ФЕРМА И ПОСЛЕДУЮЩИЕ ОТКРЫТИЯ

В 1650 году Ферма представил математическому сообществу одну из самых знаменитых задач в истории: нужно было показать, что все числа вида являются простыми. Все указывало на то, что предположение Ферма было верным. Для n= 0 получим F 0= 3 — простое число. Для n= 1 получим F 1= 5 — тоже простое число. F 2= 17, F 3= 257 и F 4= 65 537 — все это простые числа. Лишь в 1732 году Эйлер показал, что F 5= 4294967297 = 641·6700417, следовательно, оно не является простым. Затем пришлось дождаться 1880 года, когда Ландри разложил на множители F 6= 274177·67280421310721 настоящий подвиг для эпохи, когда все вычисления производились вручную. В 1975 году Моррисон и Бриллхарт сделали еще один шаг вперед, разложив на множители F 7= 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217·5704689200685129054721, на этот раз уже с помощью компьютера. До сегодняшнего дня не найдено больше ни одного простого числа Ферма, но также не доказано, что других таких чисел не существует. Однако разложить подобные числа на простые множители — задача, достойная титанов. Зачем нам знать, являются простыми числа подобного вида или нет? Один из ответов дал Гаусс, доказав, что правильный многоугольник можно вписать в окружность с помощью циркуля и линейки только тогда, когда разложение числа его сторон на простые множители содержит только двойки и разные простые числа Ферма.

Например, с помощью циркуля и линейки в окружность можно вписать треугольник (3 стороны), квадрат (4 = 2 2стороны), пятиугольник (5 сторон), шестиугольник (6 = 2·3 сторон), восьмиугольник (8 = 2 3сторон) и десятиугольник (10 = 2·5 сторон), но не семиугольник (7 не является простым числом Ферма) и не девятиугольник (9 = З 2равно произведению равных простых чисел Ферма). Хотя для этих случаев существуют приближенные построения, точное построение невозможно.

Портрет Карла Фридриха Гэусса.

* * *

АРАБСКАЯ ЗАДАЧА О ЖЕМЧУЖИНАХ

Мальба Тахан (этот псевдоним носил Жулио Сезар де Мелло и Соуза) в своей книге «Человек, который считал», изданной в 1949 году, предлагает очень красивую задачу. «Некий раджа оставил дочерям некоторое число жемчужин и повелел разделить их так: старшей дочери полагалась одна жемчужина и одна седьмая часть оставшихся, второй — две жемчужины и седьмая часть оставшихся, третьей — три жемчужины и одна седьмая часть оставшихся, и так далее для всех остальных дочерей. Младшие дочери обратились к судье, заявив, что этот способ совершенно несправедлив по отношению к ним. Судья славился умением решать задачи и быстро ответил, что просительницы ошибаются и что распределение, предложенное раджой, совершенно справедливо и честно. Судья был прав. После того как были поделены все жемчужины, оказалось, что каждой из дочерей досталось одинаковое число жемчужин. Сколько же было жемчужин и сколько дочерей было у раджи?»

Решение очень простое: жемчужин было 36, дочерей — 6. Первой дочери досталась одна жемчужина и одна седьмая от оставшихся 35, то есть 5. Получается, всего ей полагалось 6 жемчужин, осталось 30. Второй дочери досталось 2 жемчужины и седьмая часть от 28 оставшихся, то есть 4. Она получила 6 жемчужин, осталось 24. Третьей досталось 3 жемчужины и одна седьмая от 21 оставшейся, то есть еще 3, осталось 18. Четвертой досталось 4 из этих 18 и еще седьмая часть от 14, то есть 2. Следовательно, на ее долю также пришлось 6 жемчужин. Пятой дочери досталось 5 из оставшихся двенадцати и одна седьмая от 7 жемчужин, то есть 1, а всего 6. Младшей дочери достались 6 оставшихся жемчужин. Здесь красота задачи сочетается с красотой ее решения. Наследство в 36 драгоценных жемчужин досталось 6 прекрасным девушкам, 6 — совершенное число, а 36 — квадрат совершенного числа.

Графическое представление арабской задачи о жемчужинах

(источник: Мальба Тахан. Человек, который считал).

* * *

О жизни Диофанта практически ничего не известно. В точности неизвестны даже годы его жизни. Однако до нас дошли несколько дат. С одной стороны, Диофант цитирует Гипсикла, давая определение фигурных чисел, следовательно, его труд был написан позднее 150 года до н. э. С другой стороны, Теон Александрийский, отец Гипатии, приводит в своих трудах одно из определений Диофанта, откуда следует, что «Арифметика» было написана до 350 года н. э. Следовательно, мы можем лишь утверждать, что даты рождения и смерти Диофанта находятся в границах этого периода длиной в 500 лет.