Альберт Виолант-и-Хольц - Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике

Гипатия изучала астрономию, астрологию и математику. Синезий в письмах упоминает, что Гипатия, будучи его ученицей, усовершенствовала астролябию и изобрела гидрометр. Она также была редактором и автором комментариев для множества книг по математике, среди которых отметим «Конические сечения» Аполлония и «Арифметику» Диофанта. Благодаря ее усилиям эти книги стали доступнее читателям и сохранились на протяжении многих веков. В 415 году Гипатия была убита во время столкновений между последователями епископа Кирилла и префекта Ореста, ее бывшего ученика.

На этом фрагменте картины Рафаэля«Афинская школа» на переднем плане изображен Пифагор, а чуть дальше — Гапатия Александрийскаяв белой тунике.

* * *

Перевод Баше дал огромный толчок развитию теории чисел. Тот же Баше решил диофантовы уравнения первой степени вида ах + by = cz . Позднее Альбер Жиро идеально точно выделил целые числа, представимые в виде суммы двух квадратов. Наконец, Ферма изобрел новый общий метод доказательства, так называемый метод бесконечного спуска, и применил его для доказательства своей теоремы при n = 4.

До выхода перевода Баше теория чисел не вызывала интереса математиков. Считалось, что задачи теории чисел — не более чем математические курьезы, любопытные, но носящие частный характер. Объектами всеобщего внимания в то время были геометрия и анализ. Но после публикации трудов Ферма теория чисел быстро привлекла к себе интерес наиболее выдающихся математиков: Виета, Декарта, Гаусса, Эйлера, Якоби, Лагранжа, Лежандра, Дирихле, Дедекинда, Кронекера и многих других. Это лишь часть обширного перечня ученых, которые занимались исследованиями теории чисел — «королевы математики», как считал Гаусс.

Портрет математика XVIII века Жозефа Луи Лагранжа, который изучал различные задачи, поставленные Ферма.

* * *

РЕШЕНИЕ ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ

Диофантовы уравнения имеют целые коэффициенты и целые решения. Сначала удалось решить диофантовы уравнения первой степени, что позволило найти решения многих практических задач. Рассмотрим один наглядный пример. Допустим, что наш сосед отправился за покупками и хочет купить растительного масла на целый год вперед. Вернувшись из магазина, он сказал, что нашел два сорта масла — один по 3,24 евро за литр, другой по 4,50 евро за литр — и что всего он потратил 43,20 евро. В ответ мы говорим, что И бутылок будет явно недостаточно на весь год.

Как мы узнали, сколько бутылок купил сосед, если мы даже не открывали пакеты, которые он принес из магазина? Обозначим за хчисло бутылок стоимостью 3,24 евро, за у— число бутылок по 4,50 евро. Выразим потраченную сумму с помощью уравнения и получим 3,24 х + 4,50 у= 43,20. Это уравнение имеет дробные коэффициенты, но если умножить обе части на 100, получим уравнение с целыми коэффициентами: 324 х + 450 у = 4320. Следовательно, нужно найти такие хи у, для которых это равенство было бы верным. Они должны быть целыми, так как число бутылок каждого сорта обязательно целое. Необходимое и достаточное условие наличия целых корней уравнения с целыми коэффициентами таково: наибольший общий делитель коэффициентов при неизвестных должен быть делителем свободного члена. Наибольший общий делитель 324 и 450 равен 18. 4320 нацело делится на это число. Поделив обе части уравнения на 18, получим 18 х+ 25 у= 240. Теперь мы можем составить таблицу решений для этого уравнения. Для этого будем присваивать хцелые значения, начиная с 0, и находить соответствующие значения у, которые удовлетворяют уравнению, то есть такие, что у= (240 — 18 х)/25.

Из этой таблицы видно, что единственными целыми положительными решениями являются х= 5, у= 6, следовательно, всего наш сосед купил 11 бутылок растительного масла. Со временем методы решения уравнений подобного типа совершенствовались и были реализованы в компьютерных программах и инженерных калькуляторах.