Рафаэль Лаос-Бельтра - Том 28. Математика жизни. Численные модели в биологии и экологии.

Математические модели атмосферы позволяют предсказывать погоду.

К наиболее надежным метеорологическим данным относятся так называемые климатические режимы, которые учитывают преобладающее направление ветра и другие параметры, описывающие ожидаемую погоду — солнечную, облачную или дождливую. Климатические режимы определяются с помощью статистических методов на основе данных о погоде прошлых лет в стране или регионе. Однако поскольку атмосфера представляет собой хаотическую систему, стоит задуматься, насколько достоверны прогнозы погоды?

Подобные вопросы навели Эдварда Лоренца на мысль изучить атмосферу с точки зрения теории хаоса. Первые попытки составить прогноз погоды были предприняты задолго до 1960-х годов, когда работы Лоренца увидели свет, — это попытались сделать Жюль Чарни, Филип Томпсон, Ларри Гейтс, Рагнар Фьюртофт и гениальный Джон фон Нейман в 1950-х годах с помощью одного из первых компьютеров в истории — ENIAC.

В то время на вычисление прогноза погоды на следующий день требовалось целых 24 часа, а его точность оставляла желать лучшего. Именно в те годы родилась фраза «климат — это то, что ожидается, а погода — то, что будет». В модели, использованной для составления прогноза погоды, атмосфера была представлена решеткой из 270 точек, расположенных на территории Северной Америки и удаленных друг от друга на расстояние 700 километров. Метод конечных разностей позволил решить с помощью ENIAC дифференциальные уравнения, а также уравнение завихренности, которое использовалось в упрощенной модели атмосферы.

Компьютер ENIAC и Бетти Зайндер(справа) — одна из первых программистов.

В 1960-е годы Лоренц работал в престижном Массачусетском технологическом институте (США). Ученый рассматривал атмосферу как турбулентный поток, крайне чувствительный к малым изменениям. Чтобы описать этот поток математически, он составил максимально простую модель климата, включив в нее всего три переменные х, у, z . Это означает, что для Лоренца «погода на сегодня» обозначалась точкой с координатами ( х, у, z ) в трехмерном пространстве. Прогноз погоды на несколько дней в этой модели представлял собой линию, соединяющую эту точку с другими точками. Как следствие, все возможные ситуации описывались так называемым аттрактором Лоренца.

В 1963 году ученый получил три дифференциальных уравнения, объясняющих конвекцию в атмосфере, то есть движение молекул в потоке, которое и является одним из основных механизмов передачи массы и тепла. По этой причине уравнения Лоренца очень важны при изучении климата и составлении прогнозов погоды. Эти уравнения обладают интересной особенностью: хотя поведение атмосферы полностью предсказуемо, оно подвержено резким изменениям, которые кажутся случайными. Именно поэтому, подобно уравнениям Лотки — Вольтерры, уравнения Лоренца являются нелинейными. Хаотическое поведение системы, описываемой ими, для некоторых значений параметров было доказано лишь в 2001 году. Лоренц предложил следующую математическую модель, ставшую прообразом всех климатических моделей:

где σ, ρ и β — параметры модели.

Конвекция в природе возникает при переходе системы в нестабильное состояние и проявляется в движении масс. К примеру, конвекция будет наблюдаться, если мы нагреем воду в сосуде: так как горячая вода менее плотная, она будет смещаться ближе к поверхности; холодная вода, более плотная, напротив, будет опускаться на дно.

Подобные явления характеризуются числом Рэлея, которое в уравнениях Лоренца обозначается параметром ρ . Также этот параметр объясняет поведение атмосферы в следующей простой модели: когда значение ρ достигает 28, атмосфера начинает демонстрировать хаотическое поведение.

Отсюда можно сделать вывод: аттрактор Лоренца — это осциллятор, представляющий модель климата в трех измерениях. Как мы отмечали, переменные модели, х, у, z , описывают эволюцию хаотического потока, в которой отсутствуют какие-либо закономерности. Хотя модель Лоренца очень проста, два «больших крыла бабочки» аттрактора Лоренца объясняют особенности климатических режимов.