Юрий Красков - Чудеса арифметики от Пьера Симона де Ферма

С другой стороны, даже заблуждаясь в этом вопросе, т.е. считая, что эта теорема была доказана ещё Евклидом, как наука могла её игнорировать, используя «комплексные числа» и обрекая себя тем самым на разрушение изнутри? И наконец, как же можно объяснить, что эта очень простая, по сути, теорема, на которой держится вся наука, вообще не преподаётся в средней школе?

Что же касается метода спуска, то данное доказательство является одним из самых простых примеров его применения, что встречается довольно редко из-за широкой универсальности этого метода. Гораздо чаще для применения метода спуска требуется большое напряжение мысли, чтобы подвести под него логическую цепь рассуждений. С этой точки зрения могут быть поучительны и некоторые другие особые примеры решения задач этим методом.

Мы рассмотрим теперь ещё один пример задачи из письма-завещания Ферма, которая сформулирована там следующим образом:

Существует только один целый квадрат, который, увеличенный на два, даёт куб, этот квадрат равен 25.

Когда по предложению Ферма её попытался решить лучший английский математик того времени Джон Валлис (John Wallis), то он был очень сильно раздосадован и вынужден признать, что не может это сделать. Более двух веков считалось, что решение этой задачи получил Леонард Эйлер, но его доказательство основано на применении «комплексных чисел», а мы-то знаем, что это вовсе не числа, т.к. они не подчиняются основной теореме арифметики. И только в конце ХХ века Андрé Вейль (André Weil) с помощью метода треугольников Ферма, всё-таки сумел получить доказательство [17]. Это был большой прогресс, т.к. здесь использован чисто арифметический метод, однако применительно к данной задаче он явно был притянут за уши. Мог ли Ферма решить эту задачу проще? Ответ на этот вопрос мы также извлечём из тайника, что позволит нам раскрыть и эту тайну науки в виде следующей реконструкции. Итак, мы имеем уравнение p 3=q 2+2 с очевидным решением p=3, q=5. Для доказательства утверждения Ферма, предположим, что существует ещё одно решение

P>p=3, Q>q=5, которое удовлетворяет уравнению

P 3=Q 2+2 (1)

Поскольку очевидно, что Q>P, то пусть

Q=P+δ (2)

Подставляя (2) в (1), получим:

P 2(P–1)–2δP–δ 2=2 (3)

Здесь нам потребуется самая малость «остроты ума», чтобы заметить, что δ>P, иначе уравнение (3) невыполнимо. Действительно, если сделать пробу δ=P, то слева (3) будет:

P 2(P–4)>2, что не подходит, следовательно, должно существовать число δ 1=δ–P. Тогда, подставляя δ=P+δ 1в (3), получим

P 2(P–4)–4δ 1P–δ 1 2= 2 (4)

Теперь-то мы непременно заметим, что δ 1>P, иначе по той же логике, что и выше, слева (4) мы получим:

P 2(P–9)>2, что опять-таки не подходит, тогда, должно существовать число δ 2=δ 1–P, и подставляя δ 1=P+δ 2в (4), получим:

P 2(P–9)–6δ 2P–δ 2 2=2 (5)

Вот здесь-то уже можно совсем не сомневаться, что так будет продолжаться без конца и края. Действительно, путем проб δ i=P каждый раз мы получаем P 2(P−K i)>2. Каким бы ни было число K i, это уравнение невыполнимо, поскольку если K i

3, то P 2(P−K i)>2, а если K i≥P, то такой вариант исключается, т.к. тогда P 2(P−K i)≤0. Продолжать так бесконечно явно бессмысленно, следовательно, наше начальное предположение о существовании других решений P>3, Q>5 неверно и эта теорема Ферма доказана.

В часто упоминаемой нами книге Сингха эта задача приводится как пример «головоломок», которые «придумывал» Ферма. Но теперь выясняется, что универсальный метод спуска и простой приём с пробами приравненных чисел делают эту задачу одним из очень эффективных примеров для обучения в школе. Имея это доказательство, школьники без труда смогут доказать ещё одну теорему из письма-завещания Ферма, которую в своё время мог решить только такой знаменитый на весь мир учёный, как Леонард Эйлер:

Существуют только два целочисленных квадрата, которые, увеличенные на 4 , дают кубы, эти квадраты будут 4 и 121.

Иными словами, уравнение p 3=q 2+4 имеет только два решения в целых числах.

Напомним, что в известном нам письме-завещании Ферма, (п. 3.3.1), изложен только частный случай этой теоремы для квадратов. Но и этот упрощённый вариант задачи оказался не по силам не только представителям высшей французской аристократии Баше и Декарту, но даже и королевско-императорскому математику Эйлеру.