Юрий Красков - Чудеса арифметики от Пьера Симона де Ферма

Если бы мы дали здесь ответ на этот вопрос, то эта знаменитая теорема Ферма сразу превратилась бы в самую обычную школьную задачку и интерес к ней был бы утрачен. Чтобы этого не произошло, мы пока остановимся на том, что доказательство изложено здесь только на 99%, а остающийся 1% мы предложим найти тем, кому это будет интересно, чтобы оценить истинное великолепие этого научного достижения Ферма особенно в сравнении с доказательством ЗТФ Коши. 42

Рис.34. Титульная страница доказательства Коши

Золотой теоремы Ферма

Рис. 35. Одна из 43-х страниц доказательства Коши

Золотой теоремы Ферма

Постановка задачи выглядит следующим образом:

Пусть дано любое неквадратное число, требуется найти бесконечное число квадратов, которые при умножении на данное число и увеличении на единицу составят квадрат .

Ферма предложил найти решения для чисел 61, 109, 149, и 433 [36].

Способ, как вычислить требуемые числа, сумел найти английский математик Джон Валлис, применив метод Евклида разложения иррационального числа в бесконечную простую дробь. Своё решение он опубликовал его под названием «Commercium epistolicum» см. рис. 37-38.

Рис. 36. Джон Валлис

Хотя Валлис и не дал полное доказательства правомерности этого метода, Ферма всё же признал, что с задачей он справился. К решению почти вплотную приблизился Эйлер, когда он показал, что эта дробь цикличная, однако и ему не удалось довести доказательство до конца, и в конечном итоге эту задачу всё-таки решил Лагранж. Позже уже своим способом решение нашёл также Гаусс, но для этого была задействована созданная им обширная теория под названием «Арифметика вычетов».

Рис. 37. Титульная страница публикации Валлиса

Commercium epistolicum

И всё было бы хорошо, если бы доказательство Лагранжа не относилось к категории высшей трудности, а решение Гаусса не опиралось на сложнейшую теорию. Ведь сам Ферма явно не мог следовать ни тем, ни другим путем. О том, как он сам решил эту задачу, он сообщает в письме-завещании в августе 1659 г. [36]: « Я признаю, что г-н Френикль дал различные частные решения этого вопроса, а также г-н Валлис, но общее решение будет найдено с помощью метода спуска, примененного умело и надлежащим образом ». Однако это решение Ферма так и осталось для всех тайной за семью печатями!

Рис. 38. Страница 64 Commercium epistolicum ,

демонстрирующая метод Валлиса

Мы попробуем здесь немножко приоткрыть завесу над этой тайной. Для этого мы рассмотрим простой пример вычислений по методу Валлиса и затем сравним его с тем, как можно было бы сделать эти вычисления по методу Ферма. Итак, нам нужно найти самое маленькие числа x и y, удовлетворяющие уравнению Ax 2+1=y 2. Пусть A=29, тогда вычисления методом Валлиса выглядят следующим образом [32]:

Из этой последовательности вычислений цепочка подходящих дробей получается обратным ходом, т.е. от a 5до a 0и выглядит как: 5/1; 11/2; 16/3; 27/5. В итоге получаем 70/13. Тогда минимальным решением будет:

X 1√29+у 1=(13√29+70) 2=1820√29+9801; x 1=1820; y 1=9820

Валлис не сумел доказать, что такой способ вычислений даёт решения для любого неквадратного числа A. Однако он догадался, что цепочка вычислений заканчивается там, где a 6будет вычисляться по той же формуле, что и a 1. Чтобы понимать смысл этой цепочки вычислений, нужно изучить очень объёмистую и исключительно трудную теорию [7, 14, 19, 23, 26, 32], которую Ферма в то время не смог бы разработать. Поскольку никаких рабочих рукописей Ферма по арифметики не сохранилось, то возникает естественный вопрос: как же он мог сформулировать такую трудную задачу, о которой до него было очень мало сведений?