Иэн Стюарт - Величайшие математические задачи

14. Конечность полной системы функций.Расширить теорему Гильберта об алгебраических инвариантах на все группы преобразований. Опроверг Масаёси Нагата в 1959 г.

15. Исчислительная геометрия Шуберта.Герман Шуберт нашел нестрогий метод подчета различных геометрических конфигураций. Задача в том, чтобы сделать этот метод строгим. Полного решения до сих пор нет.

16. Топология кривых и поверхностей.Сколько связанных компонент может иметь алгебраическая кривая заданной степени? Сколько различных периодических циклов может иметь алгебраическое дифференциальное уравнение заданной степени? Ограниченное продвижение.

17. Представление определенных форм в виде суммы квадратов.Если рациональная функция всегда принимает неотрицательные значения, то должна ли она обязательно выражаться в виде суммы квадратов? Решили Эмиль Артин, Д. Дюбуа и Альбрехт Пфистер. Верно для действительных чисел, неверно в некоторых других числовых системах.

18. Заполнение пространства многогранниками.Общие вопросы о заполнении пространства конгруэнтными многогранниками. Имеет отношение к гипотезе Кеплера, ныне доказанной (см. главу 5).

19. Аналитичность решений в вариационном исчислении.Вариационное исчисление отвечает на такие вопросы, как «найти кратчайшую кривую с заданными свойствами». Если подобная задача формулируется при помощи красивых функций, то должно ли решение тоже быть красивым? Доказали Эннио де Джорджи в 1957 г. и Джон Нэш.

20. Граничные задачи.Разобраться в решениях дифференциальных уравнений физики в определенной области пространства, если заданы свойства решения на ограничивающей эту область поверхности. В основном решена (вклад внесли многие математики).

21. Существование дифференциальных уравнений с заданной монодромией.Особый тип комплексного дифференциального уравнения, в котором можно разобраться при помощи данных о его точках сингулярности и группе монодромии. Доказать, что может существовать любая комбинация этих данных. Ответ «да» или «нет» в зависимости от интерпретации.

22. Униформизация с использованием автоморфных функций.Технический вопрос об упрощении уравнений. Решил Пауль Кебе вскоре после 1900 г.

23. Развитие вариационного исчисления.Гильберт призывал к выдвижению новых идей в области вариационного исчислении. Многое сделано, но формулировка слишком неопределенная, чтобы задачу можно было считать решенной.

Алгоритм Агравала — Каяла — Саксены выглядит так:

• Если n представляет собой точную степень меньшего числа, выдаем СОСТАВНОЕ.

• Находим наименьшее r , такое, что наименьшая степень r , равная 1 по модулю n, больше или равна (log n )².

• Если какое-либо число, меньшее или равное r , имеет общий делитель с n , выдаем СОСТАВНОЕ.

• Если n меньше или равно r , выдаем ПРОСТОЕ.

• Для всех целых чисел a от 1 до определенного предела проверяем, совпадает ли многочлен ( x + a ) n с многочленом x n + a по модулю n и по модулю x r − 1. Если в обоих случаях ответ положительный, выдаем СОСТАВНОЕ.

• Выдаем ПРОСТОЕ.

Примером того, что я имею в виду, может служить формула, где квадратные скобки обозначают наибольшее целое число, меньшее или равное их содержимому. В 1947 г. У. Миллс доказал, что существует действительная константа A, такая, что для любого n вычисленное по этой формуле значение будет простым. Если считать гипотезу Римана верной, то минимальное значение A , удовлетворяющее условию, равно приблизительно 1,306. Однако эта константа определяется при помощи подходящей последовательности простых чисел, а формула — всего лишь символьный способ записи этой последовательности. Подобные формулы, включая некоторые из тех, что представляют все простые числа, представлены также на сайтах:

http://mathworld.wolfram.com/PrimeFormulas.html;

http://en.wikipedia.org/wiki/Formula_for_primes.

Если n — нечетное, то n − 3 четное, а если n больше 5, то n − 3 больше 2. Согласно первой гипотезе, n − 3 = p + q , так что n = p + q + 3.

Можно упомянуть в этом контексте выражение «квантовый скачок». В повседневной речи оно обычно означает какой-то гигантский шаг вперед или резкую перемену, как, например, открытие европейцами Америки. Однако в квантовой теории квантовый скачок настолько мал, что ни один известный инструмент не способен зарегистрировать его непосредственно; изменение при этом выражается 0,000…01 примерно с 40 нулями.